图论基础知识(三)

本文转载自 我的公众号文章，原文是 lee 神写的，已获原文作者授权。

本期给大家带来图论基础知识的最后一部分总结。

Slides 的制作素材大部分来源于网络，出处大多无从查起，这里感谢原创内容。但我相信知识的分享是无价的，正如鲁迅所说：“有人翻印，功德无量。”

我们重点来介绍一下邻接矩阵。

• 用矩阵的理论和分析方法来研究图论，将图的一些问题转换为矩阵运算问题，更适合于计算机处理。
• 图在计算机中就是以矩阵形式存贮和读取的，也可借助图的理论和方法研究矩阵中的问题

这里插播一道例题，骑士拨号器。

这题最朴素的思路是把电话号码转化成图，用有memo的DFS来做这道题。下面给出Discussion区@peritan的答案。

这题同时很好诠释DP & BFS & DFS 三者之间微妙的关系，读者可以悉心体会甄别其间异同。在上一期的讲解中我们提到了这几者的关系。

下面我们再来看一下，同样很Straight Forward的iteration解法。可以看到，迭代计算的部分，就是图的边的关系。

下面的图表中，给出了每个号码的初始值，和他们增长的效果。我个人觉得有点像马尔可夫链的效果，很容易和矩阵运算联系到一起。

所以我们可以把他们的转化关系用矩阵来表示，每一步的路径数目，用矩阵幂运算来计算。矩阵幂运算可以优化到O(logN)，矩阵运算的模版网上很多，不是模版党暂且不表，手撸也相当好写。同样的方法也可以用在很多地方，个别题难点会体现在关系矩阵的构造上，其本质就是线性变化，能递推就可以快速幂。

回到我们的主题，下面讲一下，算法题中我经常使用的，存储图的数据结构，邻接表。

以上就是我们图论基础知识的总结。练好图中一般的DFS和BFS写法，就成功了一大半。常涉及的进阶图论知识，还有一些用人名命名的各种算法，包括不限于: 两种最小生成树MST，三种最短路径，公共祖先LCA。鉴于我和他们这些人也不太熟，暂且不表啦，期待其他老师投稿啦。

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