《那是什么》：一个全新的科普栏目
不一样的科普内容
这次新开一个科普向的栏目，来向大家展现科学技术有趣的一面！主要宗旨就是——多点图，少点字；说重点，别废话。希望这次会有更多时间来展示更好玩的内容，不要每次都拖稿（逃
本栏目不定期更新。
还希望大家多加支持，有什么想要了解的内容都可以后台发给我嗷！
图片里有什么信息？
图片是由一个个像素点构成的。
彩色图片每一个像素点的颜色都能被三个数字的RGB色彩标准所代表，分别是红色（Red）、绿色(Green)和蓝色(Blue)，每个数字取值0~255。三种颜色合在一起就可以得到人眼能看到的大多数颜色。
黑白照片的像素点由一个数字来代表他的灰度值（gray scale），取值0~255。黑色是0，白色是255。
矩阵：大家好 我又来了
这些像素点的信息可以构成一个矩阵（matrix），矩阵里的每个数字都代表着图片的颜色信息。
比如说这张图：
% MATLAB INPUT: processing_img.mat
clear; clc; close all
A = imread('dog.jpg');
sizeA = size(A)
imshow(A);
title('Original Colored Image')% MATLAB OUTPUT
sizeA =
327 327 3
这个彩色憨憨就有327行像素和327列像素，每个像素分别对应RGB中的3个数字。
这里我们简化一下概念，只讨论黑白图片压缩，那么就将这张图片转化成黑白的：
% MATLAB INPUT: processing_img.mat
A = im2double(rgb2gray(A));
sizeA = size(A)
storage = sizeA(1) * sizeA(2)
imshow(A);
title('Original Gray Scale Image')% MATLAB OUTPUT
sizeA =
327 327
storage =
106929
这个黑白憨憨还是有327行像素和327列像素，但每个像素分别对应1个灰度值。这么说来我们需要储存$327\times327=106929$组数字。
怎么压缩图片呢？
矩阵的奇异值分解
既然都把图片信息存入矩阵了，就不得不介绍一点线性代数（linear algebra）的内容了。推导的过程可能有些复杂，那就直接上结论吧：
一个$m\times n$矩阵$A$可以被分解成三个矩阵的乘积:
$$A = U \Sigma V^{T}$$
将这三个矩阵对应的组成部分依照规则相乘后相加就能得到原矩阵:
$$A = \sum_{i=1}^{\min (m, n)} \mathbf{u} _{i} \sigma _{i} \mathbf{v} _{i}^{T}$$
如果只将前k个对应的组成部分的积相加，那么我们就得到了原矩阵的近似:
$$A \approx \sum_{i=1}^{k} \mathbf{u} _{i} \sigma _{i} \mathbf{v} _{i}^{T}, \quad \text{且 } k \le n$$
这样的矩阵运算就是矩阵的奇异值分解 （singular value decomposition；SVD）。
怎么还是这么复杂？
说人话就是——我们找出了这个矩阵最富有信息的部分，并只把这一小部分储存起来，以达到保留图片质量并缩小图片（文件大小）的目的。
百闻不如一见，那么我们就来看看吧！（营销号未遂
图片压缩实例
如果我只把这三个矩阵第一组对应部分相乘（最最最有信息的部分），记作一级近似（rank-1 approximation），那么我们得到的矩阵（图片）长这样：
% MATLAB INPUT: processing_img.mat
[U, S, V] = svd(A, 0);
k = 1;
rank1 = U(:, 1:k) * S(1:k, 1:k) * V(:, 1:k)';
imshow(rank1);
title(['Rank-', num2str(k), ' Approximation'])
这... 这质量我还不如不压缩呢。不过别急，如果我们把前k组对应部分（前k组最最最有信息的部分）相乘之后相加，记作k级近似。我们再来看看图片长什么样。先试试$k=2$：
有趣... 但还是什么都看不出来。再试试$k=5$：
好像有戏！ 图片下端的“干啥”二字隐约可见。继续尝试$k=10$：
已经可以明显看到“干啥”二字了！狗子的脸庞也模糊可见了。再试试$k=20$：
好像摘下了眼镜，图片终于能看了。再来增加到$k=50$：
这质量已经能作为这黑白憨憨原图的压缩版了。实际上，如果我们取$k=327$(图片的像素列数)，那么我们就能得到原图了：
50级近似和原图相比，50级近似还是有更多的噪点。
信息比：什么叫做足够好呢？
那我们如何决定怎样的压缩足够好呢？这里面就是平衡的艺术了：近似级数越小，图片越小（这里面均指文件大小），但是也越模糊；近似级数越大，图片越大，但是也越清晰。这里，我们可以用我们的近似所占总信息的百分比来帮助我们理解。将信息比定义为
$$信息比=\frac{近似拥有的信息}{原图拥有的信息}\times 100\%，$$
近似等级越高，信息比越大，图片质量越好。以一级近似为例来计算信息比:
% MATLAB INPUT: processing_img.mat
sing_vals = diag(S);
rank1_energy = sum(sing_vals(1:k))/sum(sing_vals)% MATLAB OUTPUT
rank1_energy =
0.3356我们得到一级近似的信息比是33.56%。这着实不怎么样。就像学了一学期的内容，结果期末考试的时候只记得了1/3，哀哉哀哉。
同理，我们计算得到二级近似的信息比是37.30%。可以看到，虽然我们多加了一层近似，信息比只增加了一点点——这是因为绝大多数信息都储存在第一层里面，其他细节都在之后的326层里。
还能看出轮廓的20级近似的信息比是67.83%。就跟考试一样，还说得过去。
而很靠谱的50级近似的信息比是85.84%，压缩质量很不错。
压缩比：信息比的死对头
与信息比对立的就是压缩比了。定义压缩比为
$$压缩比=\frac{压缩后图片文件大小}{原图文件大小}\times 100\%$$
虽说信息比越大，图片质量越好，但是图片也就越大。而我们本来的目的就是把图片变小。我们先来计算一级近似的压缩比：
% MATLAB INPUT: processing_img.mat
original_img_size = 327*327
compressed_img_size = 327*k + k + 327*k
compression_rate = compressed_img_size / original_img_size% MATLAB OUTPUT
original_img_size =
106929
compressed_img_size =
655
compression_rate =
0.0061一级近似的大小是原图的0.61%——完全成功地缩小图片，但也完全失去了图片质量，没有任何使用的意义。
同理，20级近似的压缩比为12.25%——成功的缩小了图片大小，保留了部分图片质量，但是只能模糊地看出照片的主体。
而50级近似是原图的30.63%——成功地平衡了压缩比和信息比，得质量又得大小，完美地完成任务。
327级近似的压缩比为200%——比原图还要大。这是因为这种压缩的方法将原矩阵分解成了三个，其中一个矩阵只用储存对角线上的数据，大小可以忽略不计，因此大小是原图的两倍左右。
图片压缩 - 原来是这样！
所以说抛开图片格式和编码这些复杂的东西，图片压缩在最基础的层面就是对矩阵的数学运算。
近似等级越低，信息比越小（图片质量越低），压缩比越低（图片文件越小）。
近似等级越高，信息比越大（图片质量越高），压缩比越大（图片文件越大）。
我们汇总一下上面的数据：
| 近似等级 | 信息比 | 压缩比 | 均衡度 |
|---|---|---|---|
| 一级近似 | 34% | 0.61% | 质量低 |
| 二级近似 | 37% | 1.2% | 质量低 |
| 五级近似 | 47% | 3% | 质量低 |
| 十级近似 | 56% | 6% | 质量低 |
| 20级近似 | 68% | 12% | 质量勉强 |
| 50级近似 | 86% | 31% | 质量和大小兼得 |
| 100级近似 | 96% | 61% | 质量和大小兼得 |
| 200级近似 | 99.6% | 123% | 比原图还大 |
| 327级近似 | 100% | 200% | 比原图还大 |
所以，在压缩图片的时候平衡图片质量和大小就十分重要。
图片压缩大赏
Kinglee Graduation 2019
Good Old Kinglee Spirit
UW Suzzallo Library
UW Snowman @ Drumheller Fountain
附录
相关课程
AMATH 301 Beginning Scientific Computing
AMATH 352 Applied Linear Algebra and Numerical Analysis
引用文献
Craig Gin, AMATH 301 5/13 Lecture Image Compression
Anne Greenbaum, AMATH 352 Course Notes pp. 150, 154
图文 | 林腾睿 UW'23
