一、选题来源
1959年，费曼在演讲《在底部还有很大的空间》中说道：“从石器时代开始，人类所有的技术革新都与把物质制成有用的形态有关，从物理学的规律来看，不能排除从单个分子甚至原子出发组装制造物品的可能性......如果有一天可以按人的意志安排一个个原子，将会产生怎样的奇迹？”
1990年7月第一届国际纳米科学技术会议在美国巴尔的摩召开，纳米科技作为一门学科正式诞生。
迄今为止，纳米科技取得了长足的进步，原子论和量子力学取得了巨大的成功。而薛定谔方程是量子力学处理原子分子时最基本的方程,它反映了微观粒子的运动规律。每个体系都有一个薛定谔方程,通过解薛定谔方程得到一系列波函数中（x,y,z)和对应的E,从中便可了解体系的能量和各种性质。氢原子或类氢离子的薛定谔方程的一般解,既是结构化学中所需解决的问题,又是较复杂的数学问题。本文用简明而详尽的方法,对氢原子或类氢离子的薛定谔方程的一般解作如下探讨。
氢原子或类氢离子满足的薛定谔方程为
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] ⑴
令[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]
所以定态下的的薛定谔方程为
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] ⑵
由于在空间中氢原子与类氢离子是关于原子核中心对称的，所以可以将（2）式转化为球坐标系下的方程为
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] ⑶
二、求解过程
1.分离变量
利用分离变量的方法求解波函数Ψ，令[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] ⑷
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] ⑸
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] ⑹
将（4）（5）（6）式代入（3）式并将方程各项除以[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]即得
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]
从而得到
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] ⑺
将偏微分改为全微分并将含[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]的项移到等式右边则有
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] ⑻
（8）式左边只与r,[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]有关,右边只与[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]有关,因须左右两边都等于同一常数ml2,这样便得
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] ⑼
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] ⑽
用(10)式除以[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]移项得
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] ⑾
（11）式左边只与r相关,右边只与[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]有关,等式两边都等于同一常数[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif],既
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] ⑿
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] ⒀
方程⑼ ⑿ ⒀是分别关于[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]的方程，分别解方程⑼ ⑿ ⒀ 就可以求出[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]然后将他们相乘，便可以得出波函数[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]
2.求解变量
1、求解[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]
由⑼式可得：[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]所以,该方程的特征方程为[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]求得r1=r2=mli。该式的解为
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] ⒁
(14)式中,[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]是循环坐标,它从0变到2[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]时为一周,故
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] ⒂
所以只有当[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]时⒂式才成立。[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]称为磁量子数。
又根据归一化条件得
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] ⒃
解得A=[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]所以
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] ⒄
2、求解[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]
对于⒂式，这个方程只有当l=0,1,2,3……以及l>ml时，才能得到收敛的解，这又引出了一个量子数，称l为角量子数。
⒂式[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]的解为
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] ⒅
其中
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] ⒆
结合Legendre多项式,
l=0,1,2,3……,对于给定的l值，[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]
3、求解R(r)
对于（12）式[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]，对该方程进行参量代换，令
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] [if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] [if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]
i、当E>0时，该方程的解为
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] ⒇
此情况下，该方程总有解，能量E可以取任意正值，非量子化，表示电子可以离开原子核运动至无限远，相当于单电子原子电离的情形，由于能量E可以取任意正值，因此电子的能量谱是连续谱的形式。
ii、当E<0时，方程为
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]
该方程的解为
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] (21)
其中
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] (22)
只有n=1,2,3……时且对于每一个n来说，[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]=0,1,2…n-1。且结合拉盖尔多项式，[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]是R的归一化常数。[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]。
综上所述，因为对于被原子核束缚电子的能量都小于零，所以此时的n=1,2,3……, n 称为主量子数, l为角量子数。且[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]。
所以对于确定的波函数具有三个量子数分别为主量子数n，角量子数l，磁量子数ml。
3.氢原子与类氢离子波函数
所以，根据求得的结果
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]
n,l,ml是量子数，为本征态的标志。
量子数n , l , ml所取的数值分别为：
n=1,2,3 ,…
[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif] =O,l,2,3…( n-1 )
ml=O , ±1 ,±2 , ±3…±[if !msEquation][if !vml]
[endif][endif]