维特比算法整理（参考《数学之美》）

解决问题：篱笆网络中的最短路径

$X_{ij}$表示第$i$个时刻的第$j$个可能值，其中，$1\le i\le d$；每个时刻可能的取值个数分别为$n_1,n_2,\dots ,n_d$；算法目标为从S开始，找到一条路径到E，使得路径上所有节点值加起来最小。

算法基础

1. 如果最短路径P经过点$X_{ij}$，那么路径P的从S到点$X_{ij}$的子路径Q一定是S到$X_{ij}$之间的最短路径；否则，存在另一条从S到$X_{ij}$的更短路径R，用R代替Q，则得到比P更短的路径，这与已知条件矛盾。
2. 从S到E，一定经过任一时刻i的某个取值，即路径一定经过每个时刻的某一个节点。假定$i$时刻有$n_i$个状态，那么如果记录了从S到时刻$i$的所有$n_i$个状态的最短路径，最终的最短路径必然经过其中一条。
3. 结合1和2，假定从时刻$i$进入时刻$i+1$时，从S到时刻$i$上各个节点的最短路径已经找到，并且记录在对应节点上，那么在计算从S到时刻$i+1$的某个节点的最短路径时，只要考虑从S到时刻i所有的$n_i$个节点的最短路径，以及从这$n_i$个节点到$i+1$时刻所有$n_{i+1}$的距离即可。

算法步骤

1. 从点S出发，对于时刻$i=1$的$n_1$个节点，计算从S到它们之间的最短距离$d(S,X_{1j})$，其中，$j=1,2,...,n_1$。显然，S到任一$X_{1j}$的距离即为最短距离。
2. 由$i=1$到$i=2$时，需针对$i=2$的$n_2$个节点，计算S到它们的最短距离。对于某个特定的节点$X_{2j}$，从S到该点的路径可以经过$i=1$时刻所有$n_1$个节点中的任意一个，因此，对应路径的长度为$d(S,X_{2j})=d(S,X_{1j_1})+d(X_{1j_1},X_{2j})$。$j_1$有$n_1$种可能性，因此S到$X_{2j}$的最短路径为：
   $$d(S,X_{2j})=mi{n}_{j_1\in [1,n_1]}(d(S,X_{1,j_1})+d(X_{1j_1},X_{2,j}))$$
   因此，对于$i=2$的每个节点需要进行$n_1$次乘法运算，一共需要进行$n_1\ast n_2$次乘法。
3. 采用与2中类似的步骤，对于每个$i$的值进行运算，就可以得到全局最短路径。

复杂度分析

时间状态数为$d$，记对于任一时刻所可能取值的个数的最大值为N，那么整个算法需要进行运算的次数不超过$d\ast N^2$。