欧拉公式详解-震惊！小学生也能看懂？

欧拉公式

前言

今天博主在b站上看完了一个视频。此视频介绍了欧拉从定义$\pi$、以欧拉命名、伯努利发明的数$e$、$sin$和$cos$以及$e^i$、$e$的泰勒展开式以及虚数$i$。
这是一篇学习笔记，有错误的话，感谢评论里指出。

前置知识

幂法则

如果$f(x)=x^n$，那么$f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$

证明

新的函数值是$f(x+\mathrm{d}x)=(x+\mathrm{d}x{)}^n=(x+\mathrm{d}x)(x+\mathrm{d}x)(x+\mathrm{d}x)\cdots (x+\mathrm{d}x)$
可以由二项式定理得到
$$(x+\mathrm{d}x{)}^n=\sum _{i=0}^n\left(\begin{array}{c}i\\ n\end{array}\right)x^{n-i}(\mathrm{d}x{)}^i=\left(\begin{array}{c}0\\ n\end{array}\right)x^n+\left(\begin{array}{c}1\\ n\end{array}\right)x^{n-1}\mathrm{d}x+\left(\begin{array}{c}2\\ n\end{array}\right)x^{n-2}(\mathrm{d}x{)}^2\cdots$$
$$df=f(x+\mathrm{d}x)-f(x)=x^{n-1}\mathrm{d}x+x^{n-2}(\mathrm{d}x{)}^2\cdots$$
$$\frac{df}{dx}=x^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}{x}^{n-2}dx+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}{x}^{n-2}dx\cdots$$
因为$dx$趋向$0$,所以可以忽略含有$dx$的项,$\frac{df}{dx}=x^{n-1}$

加法则

两个函数$f(x)$、$g(x)$，那么$(f(x)+g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$

积法则

两个函数$f(x)$、$g(x)$，那么$(f(x)g(x){)}^{\prime }=f(x)g^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)g(x)$

证明

由于相乘想到面积来可视化过程，设一个矩形长宽分别为$f(x)$、$g(x)$，设$h(x)=(f(x)g(x){)}^{\prime }$
如图所示：

显然增加的面积就是三块有颜色面积的小矩形，绿红黄他们的面积之和为：
$$f(x)\mathrm{d}(g(x))+g(x)\mathrm{d}(f(x))+\mathrm{d}(f(x))\mathrm{d}(g(x))=h^{\prime }(x)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$f(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x+g(x)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x+g^{\prime }(x)\mathrm{d}x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=h^{\prime }(x)\mathrm{d}x$$

那么$\frac{h^{\prime }(x)}{dx}=f(x)g^{\prime }(x)+g(x)f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$
发现尾项与$\mathrm{d}x$有关，当$\mathrm{d}x$趋向$0$的时候可以忽略。

链式法则

两个函数$f(x)$、$g(x)$，那么$f^{\prime }(g(x))=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$，也就是$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g}\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}$

证明

当$x$变化量为$dx$的时候,$g$函数变化量是$\mathrm{d}(g(x))$。
$f$函数的变化量为：
$$\mathrm{d}(f(g(x)))=f^{\prime }(g(x))\mathrm{d}(g(x))=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)\mathrm{d}x\Rightarrow \frac{\mathrm{d}(f(g(x))}{\mathrm{d}x}=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$$
最后一步是由导数的定义得来的。

通过幂法则、链式法则推到商法则

三角函数的导数

${\sin }^{\prime }(x)=cos(x)$
${\cos }^{\prime }(x)=-sin(x)$

证明

高阶导数

$f^{(n)}(x)$指的是$f(x)$的$n$阶导数。我自己的理解：描述$f(x)$的变化函数是$f^{\prime }(x)$，描述$f^{\prime }(x)$的变化函数$f^{\prime \prime }(x)$，也就是$f^{(n)}$的变化受到$f^{(n+1)}$的控制，如果控制$f^1$、$f^2$···他们的函数都相等，那么"理论上"这两个函数是相等的。下面泰勒级数就用到这个思想。

继续

指数函数求导

尝试求导

$M(t)=2^t$
$$\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}t}=\frac{2^{t+\mathrm{d}t}-2^t}{\mathrm{d}t}=2^t\underset{dt\to 0}{(\frac{2^{\mathrm{d}t}-1}{\mathrm{d}t})}$$

$\frac{2^{\mathrm{d}t}-1}{\mathrm{d}t}$趋向于一个常数$0.69314718056\cdots$
同样函数$M(t)=3^t$同样的方法，后半部分将趋向于$1.09861228867\cdots$
$M(t)=8^t\to 2.07944154168\cdots$
$1.09861228867\cdots \times 3=2.07944154168\cdots$
从指数上$8=2^3$，说明这个常数是对于对某个数求对数函数得到的。
有没有哪个底数能是的这个系数为$1$呢？
即$(a^t{)}^{\prime }=a^t$？

e的出现

这个底数就是$e=2.71828\cdots$

a^x的导数

由上面得到$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln (a)$
$\frac{d(e^{ct})}{\mathrm{d}t}=c{e}^{ct}$，$c$是常数，由复合函数求导。
所有指数函数$a$写作$e^{\ln (2)}$
代入上式得到：$a^x=e^{\ln (a)t}$

隐函数求导

圆的方程式$x^2+y^2=r$，这很显然，如果我们要对它求导怎么办？此时输入一个$x$不一定输出一个$y$。很显然这个函数是可以求导的，也就是求$(x,y)$这个坐标的斜率。

泰勒级数

由来

一个函数可以写成$f(x)={\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i=a_0+a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots$
在高阶导数的时候说过，如果两个函数每一阶导数都相等，那么"理论上"两个函数是相等的。
因为我们有$co{s}^{\prime }(x)=-sin(x)$、$co{s}^{\prime \prime }(x)=-cos(x)$、$co{s}^{\prime \prime \prime }(x)=sin(x)$、$co{s}^{\prime \prime \prime \prime }(x)=cos(x)$
此后就是$-sin(x)$、$-cos(x)$、$sin(x)$、$cos(x)$循环，求导次数$x$，其$x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4=1$,$2$,$3$,$0$的时候分别对应这四个。
$cos(0)=1\Rightarrow f(x)=a_0+{\sum }_{i=1}^n{a}_i\cdot 0=a_0=1$
$co{s}^{\prime }(0)=0\Rightarrow f^{\prime }(x)=1\cdot a_1+{\sum }_{i=2}^n(i-1)a_i\cdot 0=1!\cdot a_1=0$
${\cos }^{\prime \prime }(0)=-1\Rightarrow f^{\prime \prime }(x)=1\cdot 2\cdot a_2+{\sum }_{i=3}^n(i-1)\cdot (i-2)a_i=2!\cdot a_2=-1$
$co{s}^{\prime \prime \prime }(0)=0\Rightarrow f^{\prime \prime \prime }(x)=1\cdot 2\cdot 3a_3+{\sum }_{i=4}^n(i-1)\cdot (i-2)\cdot (i-3)a_i=3!\cdot a_3=0$
$co{s}^{\prime \prime \prime \prime }(0)=1\Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime }(x)=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4a_4+{\sum }_{i=5}^n(i-1)\cdot (i-2)\cdot (i-3)\cdot (i-4)a_i=4!\cdot a_4=1$

可以发现规律了，假设取了$i$次导数，且有$i=2n$。

• $n$是奇数有：$i!\cdot a_i=-1\Rightarrow a_i=-\frac{1}{i!}$

• $n$是偶数有：$i!\cdot a_i=1\Rightarrow a_i=\frac{1}{i!}$

也就是$cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^4}{8!}-\cdots$
同样的思路可以证明$\sin (x)={\sum }_{i=2n+1,n\in N}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^i}{i!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

证明$e^x=\cdots$比这更容易，根据定义$(e^x{)}^{\prime }=e^x$，重复上述过程即可。

麦克劳林展开式

$e^x={\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{x^i}{i!}=1+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$
$\sin (x)={\sum }_{i=2n+1,n\in N}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^i}{i!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$
$\cos (x)={\sum }_{i=2n,n\in N}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^i}{i!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$

本文正题

$e^{ix}=1+\frac{(ix{)}^1}{1!}+\frac{(ix{)}^2}{2!}+\frac{(ix{)}^3}{3!}+\frac{(ix{)}^4}{4!}+\frac{(ix{)}^5}{5!}=1+\frac{ix}{1!}-\frac{x^2}{2!}-\frac{i{x}^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{i{x}^5}{5!}-\cdots$

把带有$i$的提出来有：

$e^{ix}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots +i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!})=cos(x)+i\times sin(x)$

当$x=\pi$的时候

$e^{i\pi }=\cos (\pi )+i\times \sin (\pi )=-1$

所以$e^{i\pi }+1=0$