【抽象代数】类方程和有限群

【抽象代数】类方程和有限群

随着前面我们对于群的结构的探索，在对群进行公理化描述之后，我们又探讨了群的结构，(正规) 子群，商群还有直积的概念。如果我们要在进一步，就需要专注于群最为本质的特点，即对称与变换，这是群的精髓所在，下面就让我们开始从类方程与群对于集合的作用开始吧。

1. 类方程

1.1 群的作用

设 X 是任意一个非空集合，我们已经知道，集合 X 的全体到自身的一一对应组成一个群 S(X), 称其为对称群或变换群，从历史的角度看，人们最早研究的都是某一集合上的变换群。直到现在，各种类型的变换群的研究仍是群论的一个重要部分。抽象群的概念正是从变换群而来。在群论中，一方面是把抽象群论中的结果应用到变换群上。另一方面也常利用变换群来研究抽象群的性质。前面提到的凯莱定理就是建立在这二者的联系。而群在集合上的作用便是一种可以体现抽象群和变换群联系的广泛的定义。

设 G 是一个群，X是一个非空集合。如果给了一个映射 $f:G\times X\to X$, 适合条件：对所有的 $g_1,g_2\in G,x\in X$，满足 $f(e,x)=x$ 与 $f(g_1{g}_2,x)=f(g_1,f(g_2,x))$，那么我们就说，f 决定了群G在集合 X 上的作用。在不需要明确映射 f 的情况下，常将 $f(g,x)$简写成 $g(x)$。前面提到过，$gG$将 G 中的元素作了一个变换，同样 $g(aH)$ 也是对陪集的一个变换。看来我们有必要将这样的变换提出来单独研究，变换是从一个群 G 作用到一个集合 X，结果还是在 X 中。用函数的方法表示这个变换：$g(x)$，其中$g\in G，x,g(x)\in X$。为了能用到群的性质，首先自然是是要求下式左成立（保持运算），其次还要求逆元能将元素还原，即$g^{-1}(g(x))=x$，故还要求下式右成立。这样的变换一般叫 G 在 X 上的作用（action）。
$$g_1{g}_2(x)=g_1(g_2(x)),e(x)=x\text{\hspace{1em}(1)}$$

作用的结果可以写成一张如下所示的表格，行为G列为X，从两个维度分别考察会得到有趣的结果。变换中最重要一类就是$g(x)=x$的情况，其中g称为x的稳定子（stabilizer），x 所有的稳定子记作 $S_x$，容易证明它是一个子群。x 称为g的不动元素（fixed element），g 的所有不动元记作$F_g$。对所有 g 都不动的也叫 G 的不动元素，记为 $F_G$，它在研究问题时非常重要。接下来，分别从行、列两个方向研究这张表。

先从G的方向考察g(x)，即对于指定的x，g(x)的取值情况。g(x)的所有取值称为 x 轨道（orbit），记作 $O_x$。如果$g(x)=y\in O_x$，则有$g^{-1}(y)=x\in O_y$。故不同的$O_x$之间要么完全相同，要么没有交集，其中的元素是一个等价关系。轨道中只有一个元素的，便是 G 的不动元。

一个自然的问题是，$O_x$ 中究竟有多少元素？若$g_1,g_2$使得 $g_1(x)=g_2(x)$，则有$g_1^{-1}{g}_2(x)=x$，从而$g_1,g_2$ 同属于 $S_x$ 的一个陪集。这就是说$O_x$中不同元素的个数为$[G:S_x]$。如果为所有轨道选一个代表$x_1,x_2,\cdots ,x_n$，则有以下类方程。
$$|X|=[G:S_{x_1}]+[G:S_{x_2}]+\cdots +[G:S_{x_n}]\text{\hspace{1em}(2)}$$

另外，同属于一个轨道的稳定子有什么关系呢？假设g(x)=y，将$x=g^{-1}(y)$带入$a(x)=x$，则有$ga{g}^{-1}(y)=y$，所以就得到 $g{S}_x{g}^{-1}=S_y$。这个性质让我们想到正规子群，即对任意 $N⊴G$，可有$N\cap S_x=N\cap S_y$。从而 G 作用下的一个轨道在 N 下有相同的稳定子，即那个轨道在 N 下被分成同样长的多个轨道。特别地，如果 G 下只有一个轨道，则 N 的每个轨道一样长。

最后再从X的方向考察$g(x)$，即对于指定的$g，g(x)$的取值情况。首先若$g(x)=g(y)$，则$g^{-1}(g(x))=g^{-1}(g(y))$，即有$x=y$，g 的作用是 X 上的一个置换。现在分别从行、列两个方向统计满足 $g(x)=x$ 都有元素对$(g,x)$，有${\sum }_{g\in G}|F_g|={\sum }_{x\in X}|S_x|={\sum }_{k=1}^n|O_{x_k}||S_{x_k}|=n|G|$，整理便得到以下等式，它称为伯恩赛德（Burnside）定理，在组合数学中有广泛的应用。
$$n=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}|F_g|\text{\hspace{1em}(3)}$$

1.2 共轭

不管是正规子群，还是上面的群的作用，其中都出现了 $gS{g}^{-1}$ 的身影。现在就让我们来对它进一步研究，令 X 是群 G 的所有子集的集合，考察群 G 在 X 上的变换 $g(S)=gS{g}^{-1}$。满足$g{S}_1{g}^{-1}=S_2$ 的子集S1,S2称为共轭的（conjugat），这个变换显然是一个作用，现在直接把上段的结论应用到这里来。
　　首先互为共轭的子集在同一轨道里，这个轨道一般叫做共轭类，共轭类中的元素互为共轭。子集S的稳定子满足$gS{g}^{-1}=S$，它也称为S的正规化子，记作$N(S)$，它是一个子群。这样一来，共轭类的中的元素和$N(S)$的陪集一一对应，每个共轭类中有$[G:N(S)]$个元素。进一步地，共轭类中每个元素的正规化子有以下关系，它们也形成一个共轭类。
$$N(gS{g}^{-1})=gN(S)g^{-1}\text{\hspace{1em}(4)}$$
　
　现在来考虑一些特殊情况。首先，以上 X 中可以只取那些只有一个元素的子集，这个情况等价于 $X=G$，这就相当于定义了群元素间的共轭关系。群的元素在共轭的作用下分成了多个等价类，而不动元素$F_G$显然就是中心 C。如果中心元有 c 个，其它等价类 $C_k$ 分别有$c_k$个元素$（k=1,2,\cdots ,m）$，则类方程变成以下形式。
$$G=C\cup C_1\cup C_2\cup \cdots \cup C_m,|G|=c+c_1+c_2+\cdots +c_m\text{\hspace{1em}(5)}$$

其次，还可以把 X 中的元素限定为子群，这就定义了共轭子群。共轭子群具有共轭子集一样的性质，只是在子集和其正规化子的关系上有本质不同。对一般子集，不一定有$S\subseteq N(S)$，而对于子群 H 不仅有$H\subseteq N(H)$，还有$H⊴N(H)$。从另一个角度看，$N(H)$其实是通过缩小 G 来使 H 成为正规子群，$N(H)$是G 中使 H 称为正规子群的最大子群。反过来能否通过缩小 H 来得到一个正规子群呢？考察H的所有共轭子群之交 $K=\cap H_k$，可以证明$a{H}_k{a}^{-1}$任然包含所有 H 的共轭子群，从而恒有$aK{a}^{-1}=K$，即 K 为正规子群。特别的，如果 H 的指数有限，则 K 的指数也有限。

相对于单个元素的正规化子，子集的正规化子其实是被弱化的。正规化子$N(x)$是所有满足$ax{a}^{-1}=x$的元素，即所有与 x 可交换的元素。为此可以定义与子集 S 所有元素可交换的集合，称它为 S的中心化子，并记做 $C(S)$。容易证明它也是子群，并且有下式成立。而对单个元素显然有：$C(x)=N(x)$。
$$C(S)⊴N(S)\text{\hspace{1em}(6)}$$

读者可以思考如下两个简单的结论：
　　• 求证：$⟨a⟩⊴N(a)⩽N(⟨a⟩)$；
　　• 求证：$C(S)$是 S 各元素正规化子的交。

关于交错群$A_n$有一个重要的结论，现在我们可以来介绍它了：当$n\ne 4$时，$A_n$都是单群。对$n<4$的场景可以直接验证，也可以证明，但最好使用结论：$A_4$有唯一正规子群 $K_4$。当$n>4$时，证明比较繁杂，但方法很基础，这里仅给出基本思路。首先容易证明任何偶置换都可以表示为若干3-循环之积，并且An可以由一些3-循环生成。其次证明An对3-循环集X的作用只有一个轨道，所以An中包含一个3-循环的正规子群只能是An自身。最后通过分情况讨论，证明An的正规子群必含有一个3-循环，这就证明了An,(n>4)是单群。若有疑问可参见《代数学引论》（2nd)，聂灵绍，2009。第 66 页定理 9 有详细的证明过程。

1.3 重陪集

元素 g 与左陪集 $xK$可以定义作用 $g(xK)=gxK$，现在就来看看这个作用有什么结论。记 X 为子群 K的所有左陪集，考察子群 H 到 X 的作用（选G得不到有用结论）。作用的轨道是一些左陪集，它们的并可以写成$HxK$，它也称为重陪集。重陪集可以既可以看成是一些K的左陪集之并，也可以看成是一些H的右陪集之并。根据轨道的性质可知，重陪集之间要么完全相同，要么没有交集。

作用的稳定子满足$hxK=xK$，从而$x^{-1}hx\in K$，即$h\in xK{x}^{-1}$。稳定子的集合为 $H\cap xK{x}^{-1}$，从而轨道内元素的个数是$[H:H\cap xK{x}^{-1}]$。结合重陪集的意义和群的作用，就得到$HxK$里H的右陪集个数$n_{Hx}$和 K 的左陪集个数 $n_{xK}$ 分别为以下公式。
$$n_{Hx}=[K:K\cap x^{-1}Hx],n_{xK}=[H:H\cap xK{x}^{-1}]\text{\hspace{1em}(7)}$$
　　再来看看稳定元素$F_H$，它们对一切 h 满足 $hxK=xK$，这就得到 $xK{x}^{-1}=H$，它要求 $K,H$首先是共轭的。当 $H=K$ 时，可知$x\in N(H)$，即$F_H$为$N(H)$中 H 的所有陪集，个数为 $[N(H):H]$。

2. 有限群

2.1 p-群和p阶群

对群的所有研究都是为了分析其结构，目前除了循环群之外，还没有其它群被完全解析。在储备了一些知识后，我们开始着眼于有限群和交换群这两种常见且重要的群。相对于无限群的无穷变换，有限群的结构总也是有穷的，在这里也许可以得到一些有用的结论。我们当然是从群的阶出发，逐步寻找规律。首先对于素数阶群，显然必定是循环群，且除 e 外每个元素都是生成元。对于素数幂次 $p^s$ 阶群，它每个子群的阶都是 p 的幂，反之也是成立的，这样的群有时也叫 p-群。

拉格朗日定理说到，子群的阶必为父群的因子，那么反过来呢？对任意阶为$pm$的群 G，它有 p 阶子群吗？这个问题的答案是肯定的，现在用归纳法证明该重要结论。当$m=1$时结论显然，现在假设结论对$pk,k<m$成立。任意找一个非平凡子群 H，如果 $p\mid |H|$，则由假设知存在 p 阶子群。如果总有 $p\nmid |H|$，考察类方程（5），有$p\mid c_k$，从而中心的阶满足 $p\mid c$。而中心为正规子群，它的商群 $G/N$必有 p 阶子群 $bH$，则必定有 $p\mid |b|$，所以 $⟨b⟩$中有 p 阶元。综合以上就得到了结论：阶为$pm$的群必有有$p$阶子群，该结论也叫柯西定理。

这个结论非常有用，比如由此可以判断 pq 阶交换群必有 p,q 阶子群 $⟨a⟩,⟨b⟩$，而 $⟨ab⟩$的阶为 $pq$，所以它必定是循环群。如下有几个小思考题，供读者消遣：
　　
　　• 求证p-群有中心；
　　• 求证$p^2$阶群是循环群，另外仅有一个 p 阶子群的 p-群 也是循环群；
　　• 同构意义下，4 阶群只有循环群和 $K_4$。

2.2 西罗定理

继续刚才的问题，如果 G 的阶为 $p^{s}m,(p\nmid m)$，它是否有$p^k,(k⩽s)$阶子群呢？当$k=0,1$时结论显然成立，假设有$p^k,(k<s)$阶子群 H，考察式（8）的重陪集分解。左侧有$p\mid [G:H]$，右侧那些重陪集除了$F_H$外都有$p\mid [H_{x_i}H:H]$，从而$p\mid |F_H|=[N(H):H]$。所以有$p\mid |N(H)/H|$，故 $N(H)/H$有 p 阶子群 $K/H$，其中$|K|=p^{k+1}$，且$H⊴K$。这就构造出了$p^k+1$阶子群，继而可以构造所有$p^i,(0⩽i⩽s)$阶子群，其中$p^s$阶子群也叫 Sylow p-子群。
$$G=H{x}_{1}H\cup H{x}_{2}H\cup \cdots \cup H{x}_{r}H\text{\hspace{1em}(8)}$$$$G=H{x}_{1}K\cup H{x}_{2}K\cup \cdots \cup H{x}_{r}K\text{\hspace{1em}(9)}$$
　　
　　显然每个Sylow p-子群的共轭也是Sylow p-子群，反之对两个Sylowp-子群K,H，考察其重陪集分解（9）。因为 $p\nmid [G:H]$，而右侧重陪集除$F_H$外都有 $p\mid [H{x}_{i}K:H]$，故有 $F_H>1$。即存在$HxK=xK$，这就有$x^{-1}Hx=K$，从而$H,K$共轭。既然所有的Sylow p-子群是一个共轭子群类，而稳定子为$N(H)$，故 Sylow p-子群的个数为$d=[G:N(H)]$，首先当然有$d\mid |G|$。其次，容易有$p\mid [G:H]-[N(H):H]$，即$p\mid (d-1)[N(H):H]$，从而 $p\mid d-1$。总结这两段的讨论就是重要的西罗定理（G的阶为$p^{s}m,p\nmid m$）：

（1）西罗第一定理：存在$p^i,(0⩽i⩽s)$阶子群，且对任意$p^k,(k<s)$阶子群 H 都有 $p^{k+1}$阶子群 $K$ 使得$H⊴K$；
（2）西罗第二定理：所有Sylow p-子群共轭；
（3）西罗第三定理：Sylow p-子群个数 n 满足：$n\mid m$且$n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。

西罗定理为研究有限群的结构提供了非常好的工具，如果Sylow p-子群仅有1个，那它必为正规子群，可以将群拆分为Sylow p-子群及其商群来研究。如果Sylow p-子群有$n>1$个，考虑它们的共轭关系，已知可以有一个从 G 到 $S_n$ 的同态映射，这就说明了G有同态于$S_n$的商群。

在上面我们得到过结论：$pq$阶交换群是循环群。如果不要求是交换群，但$p\nmid q-1,q\nmid p-1$，则 p-子群 和 q−子群都是正规子群且无非平凡交集，也可以证明它们是可交换的。之前的证明同样成立，它还是个循环群。利用这个结论，很多有限群都可以确定是循环群。

这个正规性还使得Sylow p-子群可参与有限群的分解。若有$|G|=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\cdots p_s^{e_s}$，且$\text{Sylow}{p}_k$-子群Pk都是正规子群（比如上面的条件），你可以证明有下式成立。而把结果用到交换群上则是显然成立的。并且对任意$d\mid |G|$，设$d=p_1^{e_1^{\prime }}{p}_2^{e_2^{\prime }}\cdots p_s^{e_s^{\prime }}$。由Sylow定理知，$P_k$中总有$p_k^{e_k^{\prime }}$阶子群$H_k$，则显然$H_1\times H_2\times \cdots \times H_s$的阶就是 d。这就是说拉格朗日定理的反命题对满足条件的有限群是成立的，对任意$d\mid |G|$都有阶为d的子群。
　　$$G=P_1\times P_2\times \cdots \times P_s\text{\hspace{1em}(10)}$$

考虑几个习题：
　　• P 为Sylow p-子群，若p-群H满足 $H\subseteq N(P)$，则 $H\subseteq P$；
　　• 同构意义下，6 阶群只有循环群和 $S_3$；
　　• 若$|G|=p^{2}q$或$|G|=pqr$，则 G 不是单群。

2.3 有限交换群

刚才我们把有限交换群分解成了Sylow p-子群的直积，现在来看交换群Sylow p-子群 P 能否再进一步分解。考察 P 的一组生成元$\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$，由于是交换群，则必定有$G=⟨a_1⟩⟨a_2⟩\cdots ⟨a_n⟩$。接下来我们需要找使得表达式成为直积的生成元，主要思想是利用现有生成元，如果不是直积，则能构造出阶之和更小的生成元，用无穷递降法就构造出直积表达式。这样每个Sylow p-子群 P 都被分解成了若干循环群的直积，进而可以有任何有限交换群 G 都可以分解为循环群的直积，并且每个循环群的解都是 p-群。它们的生成元被称为G的基，生成元的阶被称为初等因子，由此两个有限交换群同构的充要条件就是它们的初等因子组相等。
$$G=⟨a_1⟩\times ⟨a_2⟩\times \cdots \times ⟨a_n⟩,|a_k|=p_i^j\text{\hspace{1em}(11)}$$　
　　可以将G的初等因子分成多组$r_1,r_2,\cdots ,r_m$，并且满足$r_k\mid r_{k+1}$。相应地就有下式成立。$r_k$ 叫的不变因子，容易证明不变因子组相等也是有限交换群同构的充要条件。其实还可以证明，对任意初等因子组合不变因子组，都可以构造出相应的有限循环群，以上都称有限交换群基本定理
$$G=⟨b_1⟩\times ⟨b_2⟩\times \cdots \times ⟨b_n⟩,|b_k|\mid |b_{k+1}|\text{\hspace{1em}(12)}$$