定时同步之OM算法
信号模型
接收到的信号（PAM）或等效的低通信号（QAM，PSK）可以写为
r ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ a n g T ( t − n T − ε ( t ) T ) + n ( t ) = u ( t ) + n ( t ) r(t) = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{a_n}{g_T}(t - nT - \varepsilon (t)T)} + n(t) = u(t) + n(t) r(t)=n=−∞∑∞angT(t−nT−ε(t)T)+n(t)=u(t)+n(t)
其中， a n a_n an是平均功率为1的复值传输码元， g T ( t ) {g_T}(t) gT(t)是传输信号脉冲， T T T为符号周期， n ( t ) n(t) n(t)为功率谱密度为 N 0 N_0 N0的高斯白噪声， ε ( t ) \varepsilon (t) ε(t)为未知且缓慢变化的时延。
定时恢复就是估计时延 ε ( t ) \varepsilon (t) ε(t)以实现数据的最佳检测，由于 ε \varepsilon ε变化很慢，在数字化实现中，可以对接收信号进行逐段处理。对于每一段 Δ m {\Delta _m} Δm，可以假设 ε \varepsilon ε为常数，并得到其估计值 ε ^ m {\hat \varepsilon _m} ε^m。该估计必须与先前的估计相结合（即，必须对其进行滤波），以便获得最优估计 ε ˉ m {\bar \varepsilon _m} εˉm，后者可用于控制用来检测的模拟或数字采样器。
下面考虑一种特别适合于数字实现的特殊类型的定时估计器，它与连续时间滤波器和平方同步器类似之处在于，输入信号均被平方，并通过滤波操作提取符号速率下的频谱分量。
经过接收滤波器（脉冲响应为 g R ( t ) g_R(t) gR(t)））后，信号
r ~ ( t ) = r ( t ) ∗ g R ( t ) \tilde r(t) = r(t) * {g_R}(t) r~(t)=r(t)∗gR(t)
以速率 N / T N/T N/T进行采样（意味着一个符号采N个点，即过采倍数 F d = N F_d= N Fd=N），得到采样序列
r ~ k = r ~ ( k T / N ) {{\tilde r}_k} = \tilde r(kT/N) r~k=r~(kT/N)
序列
x k = ∣ ∑ n = − ∞ ∞ a n g ( k T N − n T − ε T ) + n ~ ( k T N ) ∣ 2 {x_k} = {\left| {\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{a_n}g\left( {\frac{{kT}}{N} - nT - \varepsilon T} \right)} + \tilde n\left( {\frac{{kT}}{N}} \right)} \right|^2} xk=∣∣∣∣∣n=−∞∑∞ang(NkT−nT−εT)+n~(NkT)∣∣∣∣∣2
式中， g ( t ) = g T ( t ) ∗ g R ( t ) g(t) = {g_T}(t) * {g_R}(t) g(t)=gT(t)∗gR(t)，其表示经过滤波和平方后输入信号（即 r ~ k {{\tilde r}_k} r~k）的采样，并且在 1 / T 1/T 1/T处存在频谱分量。在常规同步器中，该频谱分量通过PLL或窄带滤波器进行提取，此处通过计算每一段时长为 L T LT LT（长度为 L N LN LN个采样点）在符号速率下（at the symbol rate）的复傅里叶系数
X m = ∑ k = m L N ( m + 1 ) L N − 1 x k e − j 2 π k / N = ∑ K = m L F d ( m + 1 ) L F d − 1 x k e − j 2 π k / F d {X_m} = \sum\limits_{k = mLN}^{(m + 1)LN - 1} {{x_k}{e^{ - j2\pi k/N}}} {\rm{ = }}\sum\limits_{K = mL{F_d}}^{(m + 1)L{F_d} - 1} {{x_k}{e^{ - j2\pi k/{F_d}}}} Xm=k=mLN∑(m+1)LN−1xke−j2πk/N=K=mLFd∑(m+1)LFd−1xke−j2πk/Fd
该公式应该是从连续时间非周期信号的傅里叶变换公式引申而来的，连续傅里叶变换的公式为
X ( j Ω ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j Ω t d t X(j\Omega ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t){e^{ - j\Omega t}}dt} X(jΩ)=∫−∞+∞x(t)e−jΩtdt
其中， Ω = 2 π T \Omega = \frac{{2\pi }}{T} Ω=T2π，时间 t t t以速率 N / T N/T N/T进行采样后为 t = k N T t = k\frac{N}{T} t=kTN，积分变为求和，则得到上面的公式。
正如下一节所述，该系数的归一化相位 ε ^ m = − 1 2 π arg ( X m ) {{\hat \varepsilon }_m} = \frac{{ - 1}}{{2\pi }}\arg ({X_m}) ε^m=2π−1arg(Xm)是 ε \varepsilon ε的无偏估计。
OM定时算法核心
由傅里叶变换性质，有
f ( t − τ ) ↔ F ( j ω ) e − j ω τ f(t - \tau ) \leftrightarrow F(j\omega ){e^{ - j\omega \tau }} f(t−τ)↔F(jω)e−jωτ
由于 x k x_k xk在频率 1 / T 1/T 1/T存在频谱分量，其在该频谱处傅里叶变换的相位记为 φ B {\varphi _{\bf{B}}} φB，则
φ B = − ω B τ = − 2 π f B τ = − 2 π R B τ = − 2 π τ / T {\varphi _B} = - {\omega _B}\tau = - 2\pi {f_B}\tau = - 2\pi {R_B}\tau = - 2\pi \tau /T φB=−ωBτ=−2πfBτ=−2πRBτ=−2πτ/T
则时延 τ \tau τ的估计值为
τ ^ = − φ B 2 π T \hat \tau {\rm{ = }} - \frac{{{\varphi _B}}}{{2\pi }}T τ^=−2πφBT
化为离散形式为
φ B = − 2 π τ R B F s {\varphi _B} = - 2\pi \tau \frac{{{R_B}}}{{{F_s}}} φB=−2πτFsRB
τ ^ = − φ B 2 π F s R B \hat \tau {\rm{ = }} - \frac{{{\varphi _B}}}{{2\pi }}\frac{{{F_s}}}{{{R_B}}} τ^=−2πφBRBFs
采样率必须满足能够表示 1 / T 1/T 1/T处的频谱分量，即
N / T > 2 / T N/T> 2/T N/T>2/T，一般选择 N = 4 N = 4 N=4，即过采倍数为4。