【洛谷P1052】过河【状压DP】

题目描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0,1,…,L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

输入格式

第一行有1个正整数L(1≤L≤109)，表示独木桥的长度。

第二行有3个正整数S,T,M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离及桥上石子的个数，其中1≤S≤T≤10,1≤M≤100
第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出格式

一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

输入输出样例

输入 #1

10
2 3 5
2 3 5 6 7

输出 #1

2

说明/提示

对于30%的数据，L≤10000；
对于全部的数据L≤109

分析

两个部分：状态转移方程和路径（状态）压缩。

1. 状态转移方程

这是一个比较简单方程式。

首先设$f[i]$为在i点上的最少踩石子数则在前面(i-s)到(i-t)的点都可以改变i点的值,因此我们可以取$f[i-s]-f[i-t]$之中的最小值，另外如果有石头就加上1，如果没有就不加值，这里我们直接用flag[i]表示该点有无石头(有则为1，无则为0)。
状态转移方程：$$f[i]=min(f[i],f[i-j]+ff[i]);$$

2. 路径(状态)压缩

如果我们定义一个f[10⁹]的数组，这肯定是会爆内存的——所以…[我就放弃了这道题][额，可能吗]…因此我们需要使用一种方法，使得这里采用一种最合适的方法——路径压缩(其实还有其他更(bu)优(kao)秀(pu)方法的)，目的是要找到两石同相隔较长时直接缩短的方法。
听奆佬说路径压缩的思路跟洛谷P3951 小凯的疑惑基本相同。

综上，得到压缩路径的方法：若两个石子之间的距离$>t\ast (t-1)$ ，则将他们的距离更改为 $t\ast (t-1)$。

因为 t<=10 ，因此我们可以直接将大于10*9的距离直接化为90.

但是要注意，对于 s=t 这种特殊情况，这种方法是不成立的应为在这种情况下，每次是不能够走p+1步的，因此需要另外特殊判断。

方程：$$f[i]=f[i-1]+(imods==0)$$
解释：上面括号内为（i mod s==0）

上代码

#include
#include
#include
#include
typedef long long ll;
using namespace std;

int l,cnt,ans,a[101],f[10001],dis[10001],ff[10001];
int s,t,m; 

int main()
{
    cin>>l;
    cin>>s>>t>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
    	cin>>a[i];
    	if(a[i]%s==0) cnt++;
    }
    if(s==t) 
    {
    	cout<<cnt;
    	return 0;
    }
    sort(a+1,a+m+1);
    dis[m+1]=min(l-a[m],100);
    l=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
    	dis[i]=min(a[i]-a[i-1],90);
    	l+=dis[i];
    	ff[l]=1;
    }
    l+=dis[m+1];
    for(int i=1;i<=l+9;i++)
    {
    	f[i]=2147483640;
    	for(int j=s;j<=t;j++)
    	{
    		if(i>=j)
    		{
    			f[i]=min(f[i],f[i-j]+ff[i]);//从(i-t)~(i-s)转移过来 
    		}
    	}
    }
    ans=2147483640;//一定是这个数（玄学） 
    for(int i=l;i<=l+9;i++)
    {
    	ans=min(ans,f[i]);
    }
    cout<<ans;
	return 0;
}