洛谷 P1052 过河（状压dp）

• 题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1052

• 题意：在一条长为 L L 的独木桥上有很多石子 ，坐标为 mi m i 有一只青蛙要从坐标零点跳到 L L 处或者跳过 L L ，每次青蛙可以跳过 S∼T S ∼ T 之间的任何正整数距离(包括 S,T S , T )，问青蛙最少要踩到过的石子数。(以上数字皆为正整数)

• 思路：咋一看就是一个很简单的一维 DP D P ，状态转移方程：

  dp[i]=min(dp[i−j]+flag[i]∣S<=j<=T) d p [ i ] = m i n ( d p [ i − j ] + f l a g [ i ] ∣ S <= j <= T )
  说明：
  dp[i]表示到i点踩的最少石子数，而要跳到i点，只有dp(i−S)∼dp(i−T),从中取最小值再加上i点有没有石子（flag[i]）就行 d p [ i ] 表 示 到 i 点 踩 的 最 少 石 子 数 ， 而 要 跳 到 i 点 ， 只 有 d p ( i − S ) ∼ d p ( i − T ) , 从 中 取 最 小 值 再 加 上 i 点 有 没 有 石 子 （ f l a g [ i ] ） 就 行

• 但 L L 的数值达到了 109 10 9 ，而石子的数目最多就只有 100 100 ，中间很很多空白的地方造成了计算资源的浪费，于是按照状压的基本思想对长度进行压缩。

• 公式已有大佬证过（这里），得到压缩路径的方法：若两个石子之间的距离 d>t∗(t−1)t∗(t−1) d > t ∗ ( t − 1 ) t ∗ ( t − 1 ) ，则将他们的距离更改为 t∗(t−1)t∗(t−1) t ∗ ( t − 1 ) t ∗ ( t − 1 ) 。
  因为 t<=10 t <= 10 ，因此我们可以直接将大于 109 10 9 的距离直接化为 90 90 .
  而对于 s=t s = t 需要特殊判断。

• 代码如下：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int L, S, T, M;
int m[105];
int dp[30000];
int f[105];
int flag[30000];
int main(){
    scanf("%d %d %d %d", &L, &S, &T, &M);
    int ans = 0;
    if(S == T){//特判
        int x;
        for(int i = 1; i <= M; i++){
            scanf("%d", &x);
            if(x % S == 0)
                ans++;
        }
        printf("%d\n", ans);
        return 0;
    }
    for(int i = 1; i <= M; i++)
        scanf("%d",&m[i]);
    sort(m + 1, m + 1 + M);//先排序
    f[0] = 0;
    m[0] = 0;
    f[M + 1] = min(L - m[M], 100);//最后一个点到终点的距离，虽然我认为不要100也行，但大点也没啥关系
    L = 0;
    for(int i = 1; i <= M; i++){
        f[i] = min(m[i] - m[i - 1], 90);//压缩距离
        L += f[i];
        flag[L] = 1;
    }
    L += f[M + 1];
    for(int i = 1; i <= L + 9; i++){//最后一步可能从L-1跳到L+9
        dp[i] = 0x3f3f3f3f;
        for(int j = S; j <= T && i >= j; j++){
            dp[i] = min(dp[i], dp[i - j] + flag[i]);//dp过程
        }
    }
    int minn = 0x3f3f3f3f;
    for(int i = L; i <= L + 9; i++){
        minn = min(minn, dp[i]);在最后刚好到达到超过的dp[i]中找最小值
    }
    printf("%d\n",minn);//完
return 0;
}

总结：动态规划非常重要，至少要先熟悉各种dp。