【基础练习】【线性DP+离散化】codevs1105 过河题解

题目描述 Description

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。
题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

输入描述 Input Description

输入第一行有一个正整数L（1<=L<=10⁹），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1<=S<=T<=10，1<=M<=100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出描述 Output Description

输出只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

样例输入 Sample Input

10
2 3 5
2 3 5 6 7

样例输出 Sample Output

2

数据范围及提示 Data Size & Hint

数据规模

对于30%的数据，L<=10000；

对于全部的数据，L<=10⁹。

方程显然：

f[i] = min { f[i - x] } + stone[i];  x∈[S, T]
ans = min {f[j]};  j∈[L, L+T-1]

既然数据这么大，显然要离散化

一开始离散的t，但是怎么也过不了 不知是不是杨志灿老师的课件有误。codevs上也有说t的，不知为什么；

引用codevs上最小公倍数做法的解释：

只要求出1--10里面任意两个数的最小公倍数，然后取最大的，可以证明当两石块之间的距离大于它的时候，那么大于它的部分的每一个点都可以通过这两个数的某一种组合跳到，所以当两个石块间的距离大于这个最小公倍数，那么就把它们的距离缩小到这个最小公倍数.

路径压缩后，就可以DP求出最小踩石子个数。设f[i]表示到达第i个位置最小踩多少个石子.
则f[i]=min(f[i-j]+d[i])（1<=i<=l+t)(s<=j<=t),d[i]表示第i个位置是否有石子.
最后的答案就是在l to l+t 之间找最小。

虽然不知道怎么回事，但就是这个道理= =

上代码，我要抓紧写作业去

//codevs1105 青蛙过河 线性DP+离散化
//copyright by amtake
#include
#include
#include
using namespace std;

int l,s,t,m;
const int maxn=10000+10;
const int tt=90;
int a[100+10],f[maxn];
int have[maxn];

int main()
{
    freopen("1.txt","r",stdin);
    scanf("%d%d%d%d",&l,&s,&t,&m);
    for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+1,a+m+1);
    a[m+1]=l;
    if(s==t)
    {
       int ans=0;
       for(int i=1;i<=m;i++)if(a[i]%s==0)++ans;
       printf("%d\n",ans);
       return 0;
    }
    for (int i=0;i<=m;i++)
    {
        //int x=a[i+1]-a[i];
        //while (x>t) x-=t;
        //a[i+1]=a[i]+x; 
        if (a[i+1]-a[i]>tt) a[i+1]=a[i]+(a[i+1]-a[i])%tt;
        if (a[i+1]==a[i]) a[i+1]+=tt;
    }
    memset(have,0,sizeof(have));
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        have[a[i]]=1;
    }
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    for(int i=s;i<=t;i++) f[i]=have[i];
    for (int i=s<<1;i<=a[m+1]+t;i++)
    {
        for (int j=s;j<=t;j++)
        {
            if(j<=i)f[i]=min(f[i-j],f[i]);else break;
        }
        f[i]+=have[i];
    }
    int ans=0x3f3f3f3f;
    for (int i=a[m+1];i<=a[m+1]+t;i++) if (f[i]

——春来遍是桃花水，不辨仙源何处寻。