【动态规划】矩阵链相乘 (ssl 1596)/能量项链 (ssl 2006)

$$矩阵链相乘$$

Description

Input

n表示矩阵的个数(<=100)

n+1个数,表示矩阵(<=100)

Output

最小的乘法次数

Sample Input

5

5 10 4 6 10 2

Sample Output

348

题目大意：

有n个矩阵，输入n+1个数，第i个矩阵的行列分别为第i和第i+1个数，将他们合并在一起，合并的时间为前面的矩阵的行×前面的矩阵的列/后面的矩阵的行×后面的矩阵的列，要使他们合并成一对的时间最少

解题方法：

这道题大体和石子合并（ssl 2863)相同（至少我这么认为）,但他合并的代价为前面的矩阵的行数×前面的矩阵的列数/后面的矩阵的行数×后面的矩阵的列数，并且输入多了一个数,

未做过石子合并的“大佬”看此：

我们先枚举合成矩阵的个数(len)，再枚举矩阵的第一个(i)，最后一个(j)就出来了，最后枚举分割线(k)，用分割线前面矩阵花费的时间加上后面矩阵花费的时间，最后加上a[i]×a[k]×a[j+1] (因为是最后一个矩阵的$列$，所以还要加1)

动态转移方程：

$$f[i][j]=min\{\begin{array}{c}f[i][j]\\ f[i][k-1]+f[k][j]+a[i]\ast a[k]\ast a[j+1]\end{array}$$

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int f[105][105],a[105],n,j;
int main()
{
	memset(f,127/3,sizeof(f));//因为要求最小，所以要先赋一个大的值
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n+1;i++)//n要加1
	  {
	  	scanf("%d",&a[i]);
	  	f[i][i]=0;//把只有一个矩阵的清零
	  }
	for (int i=1;i<=n-1;i++)//2因为只有两个矩阵，所以可以特殊处理(更快)
	  f[i][i+1]=a[i]*a[i+1]*a[i+2];
	for (int len=3;len<=n;len++)//长度
	  for (int i=1;i<=n-len+1;i++)//前面的矩阵
	    {
		  j=i+len-1;//后面的矩阵
		  for (int k=i+1;k<=j;k++)
		    f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k-1]+f[k][j]+a[i]*a[k]*a[j+1]);//动态转移方程
	    }
	printf("%d",f[1][n]);
}

---

$$能量项链$$

Description

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：

(4⊕1)=1023=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为

((4⊕1)⊕2)⊕3）=1023+1035+10510=710。

Input

输入的第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当i时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

Output

输出只有一行，是一个正整数E（E≤2.1*109），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

Sample Input

4

2 3 5 10

Sample Output

710

题目大意：

有n个矩阵。。。（和上体叙述大体一致），但它是一个环形，输入n个数(a[1],a[2]…a[n])，每个矩阵的行列为a[1]×a[2],a[2]×a[3]…a[n-1]×a[n],a[n]×a[1],因为它是一个环形，所以只要是相邻的，就可以合并，$要求最大的！！！要求最大的！！！$$要求最大的！！！（重要的事情说三遍）$。

解题方法：

我们可以按下图存放a，将1-4，2-5，3-6，4-7这一堆当作第一题做，再从这些中求最大的，但这样（3+1重循环）有80%的可能性TLE，所以我们可以将他们放在一起做，这样重复的就可以不做了（详情请看程序）

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int f[205][205],a[205],n,j,ans;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	  {
	  	scanf("%d",&a[i]);
	  	a[i+n]=a[i];//复制一遍
	  }
	for (int i=1;i<=n*2-2;i++)//要再加一个n，因为n+1到n*2是等于1到n的，所以要加1，n-1+n-1=n*2-2
	  f[i][i+1]=a[i]*a[i+1]*a[i+2];//长度为2的提前做
	for (int len=3;len<=n;len++)//一样
	  for (int i=1;i<=n*2-len;i++)//后面的也要求，所以要加n,因为n+1到n*2是等于1到n的，所以要加1，n-len+1+n-1=n*2-len
	    {
		  j=i+len-1;//一样
		  for (int k=i+1;k<=j;k++)//一样
		    f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k-1]+f[k][j]+a[i]*a[k]*a[j+1]);//要求最大的
	    }
	for (int i=1;i<=n;i++)
	  ans=max(ans,f[i][i+n-1]);//要从这些中找最大的
	printf("%d",ans);
}