P1052 过河 动态规划 C++和java全解

题目描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0,1,…,L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为LL的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

输入格式

第一行有1个正整数L(1 ≤ L ≤10^9)，表示独木桥的长度。

第二行有3个正整数S,T,M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离及桥上石子的个数，其中1≤S≤T≤10,1≤M≤100。

第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出格式

一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

输入输出样例

输入 #1

10
2 3 5
2 3 5 6 7

输出 #1

2

说明/提示

对于30%的数据，10000≤L≤10000；

对于全部的数据，10^9≤L≤109。

题解
这道题有一个明显的条件信息,就是M <= 100, 石头的数目小于等于100,但是从起点到终点一共的举例是10^9.所以路中的很大一段是没有石头的.
每次行走的距离T,S <= 10, 我们根据数学知识可知,
当距离大于SxT, 即 S 和 T的最小公倍数的时候,我们就可以使用T和S这两个数字的某一个组合将这个数字表示出来,即当两个石头的距离大于SxT的时候,一定是由S和T两个数组合起来的, S,T <=100; S和T之间的距离大于等于90时, 等价于90, 100个石头,开一个100020的数组.
DP状态转移方程: f[i] = max(f[i], f[i -j] + w[i]);
C++

#include
#include
#include
#include

using namespace std;

const int N = 10020, M = 110;

int n, S, T, m;
int stones[M];
int w[N], f[N];

int main() {
	scanf("%d%d%d%d", &n, &S, &T, &m);
	for (int i = 0; i < m; i++) scanf("%d", &stones[i]);
	
	if (S== T){
		int res = 0;
		for (int i = 0; i < m; i++) 
			if (stones[i] %S == 0)
				res ++;
		printf("%d", res);
	}
	else {
		sort(stones, stones + m);
		int last = 0, k = 0;
		for (int i = 0; i < m; i++) {
			for (int j = 0; j < min(stones[i] - last, 100); j++)
				w[++k] = 0;
			w[k] = 1;
			last = stones[i];
		}
		for (int i = 1; i <= k +10; i++) {
			f[i] = 1e9;
			for (int j = S; j <= T; j++) 
				if (i - j >= 0)
				f[i] = min(f[i], f[i - j] + w[i]);
		}
		
		int res = 1e9;
		for (int i = k; i <= k + 10; i++) res = min(res, f[i]);
		printf("%d", res); 
	}
}

java

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main {
	static int L, S, T, M;
	static int stones[] = new int [110];
	static int f[] = new int [10020];
	static int w[] = new int [10020];
	public static void main(String []args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		L = sc.nextInt();
		S = sc.nextInt();
		T = sc.nextInt();
		M = sc.nextInt();
		for (int i = 1; i <= M; i++)
			stones[i] = sc.nextInt();
		sc.close();
		if (S == T) {
			int res = 0; 
			for (int i = 1; i <= M ;i++)
				if (stones[i] % S == 0)
					res ++;
			System.out.println(res);
		} else {
			Arrays.sort(stones, 0, M + 1);
			int last = 0, k = 0;
			for (int i = 1; i<= M; i++) {
				for (int j = 1; j <= Math.min(stones[i] - last, 100); j++)
					w[++k] = 0;
				w[k] = 1;
				last = stones[i];
			}
			for (int i = 1; i <= k +10; i++) {
				f[i] = 110000;
				for (int j = S; j <= T; j++)
					if (i - j >= 0)
						f[i] = Math.min(f[i], f[i - j] + w[i]);
			}
			
			int res = 110000;
			for (int i = k; i <= k + 10; i++) res = Math.min(res, f[i]);
			System.out.println(res);
		}
	}
}