线性代数——08(A) 叉积的标准介绍

“每一个维度都很特别。” —— Jeff Lagarias

假的叉积

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在二维空间中，假如你有两个向量v和w，考虑它们所张成的平行四边形，v和w的叉积就是这个平行四边形的面积。需要注意的是，我们还要考虑取向问题，大致来讲，如果v在w右侧，那么v叉乘w为正，并且值等于平行四边形的面积；但是如果v在w左侧，那么v叉乘w为负，即平行四边形面积的相反数；这就是说顺序会对叉积有影响。

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我们用来记顺序的方法是，当你按序求两个基向量的叉积，即i帽叉乘j帽，结果应该是正的；实际上，基向量的顺序就是定义取向的基础，因为i帽在j帽的右侧，所以v在w的右侧时，v叉乘w为正。如果j帽在i帽的左侧，那么就为负，说明发生了翻转。

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方向的问题确定后，剩下的就是面积该怎么求解了。如果你看过前面的行列式，你就知道这是个非常简单的问题了。想象一个线性变换将i帽和j帽分别移至v和w。

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由于行列式就是关于变换前后面积变化的比例，而变换前i帽和j帽组成的单位正方形面积是1，所以这个变换矩阵的行列式就是v和w的叉积；

真的叉积

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按照上面的解释，两个向量的叉积等于这个两个向量定义的矩阵的行列式。其实这个解释是不对的，真正的叉积是通过两个三维向量生成一个新的三维向量。新的向量的长度等于这两个向量形成的平行四边形的面积，比如说2.5，而且新的向量的方向与平行四边形（所在的面）垂直。

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这样的向量有两个，这个时候就要用上右手法则了，右手食指指向v，中指指向w，大拇指所指的方向就是叉积的方向。

叉积的计算

未完待续。。。