二分图最大匹配总结

 

一.结论：

 

1.最大匹配。

2.最小点覆盖：用最少的点去覆盖掉所有的边。最小点覆盖 = 最大匹配 。

3.最小边覆盖：用最少的边区覆盖掉所有的点，单独一个点可看作一条边。最小边覆盖 = 结点数 - 最大匹配。

4.最大独立集：选出尽可能多的点使得他们之间没有关系（没有边相连）。最大独立集 = 结点数 - 最大匹配。

5.最大团：选出尽可能多的点使得他们构成一个完全图。最大团 = 补图的最大独立集。

6.最小路径覆盖（有向图）：选出最少的路径，使得每个点恰好在一条路径上，单独一个点可看作一条边。最小路径覆盖 = 结点数 - 最大匹配。

 

 

 

二.证明：

 

1.最小点覆盖 = 最大匹配：

König定理，不会。

 

2.最小边覆盖（ans） = 结点数（n） - 最大匹配（cnt）

证明：我们假设图中不存在边，那么每个点都要一条边去覆盖，所以总共要n条覆盖边。之后我们考虑原图中的边，利用Hungary()算法求出最大匹配数为cnt，这就表明了：有cnt个点，可以与其他点共用一条覆盖边，于是就可以除去cnt条覆盖边。所以最小边覆盖：ans = n - cnt 。

 

3.最大独立集（ans） = 结点数（n） - 最大匹配（cnt）

建图：如果u和v有关系，或者说有冲突，那么就在u和v之间连上边。

证明：最大独立集，即在在图中 删去尽可能少的点， 使得剩下的点互相独立，即没有边的存在。而我们又知道，最小覆盖点集覆盖掉了所有的边，当我们把这些点都删去了，就不存在边了。而又因为是“最小”覆盖点集，即删除了最少的点，因为得到了最大独立集。于是最大独立集：ans = n - cnt 。

 

4.最大团 = 补图的最大独立集

证明：最大团，即两两都有联系，那么它的补图，就是两两都没有联系。所以最大团即为补图的最大独立集。

 

5.（有向无环图DAG） 最小路径覆盖（ans） = 结点数（n） - 最大匹配（cnt） 

建图：把每个结点u都拆成两个结点u和u'分于左右两边，其中左边的u为起点，右边的u'为终点，如果在图中有u-->v的边，则在建图时，连u-->v' 。

证明：我们假设图中不存在边，即没有路径，那么每个点都要一条路径去覆盖，所以总共要n条路径。之后我们考虑原图中的边，利用Hungary()算法求出最大匹配数为cnt，这就表明了：有cnt个点，可以接在其他结点得到后面，于是就可以除去cnt条路径。所以最小路径覆盖：ans = n - cnt 。

注意：最小路径覆盖于最小边覆盖是不同的，虽然公式一样，但是前提条件就不同了：首先最小路径覆盖是有向图，而最小边覆盖是无向图。其次，最小路径覆盖建图时需要拆点，而最小边覆盖只需直接建图。

 

 

 

三.对匈牙利算法的认知：

枚举二分图左边的每一个点，以此为出发点，看是否能找到增广路，即是否能找到右边的点为未匹配点，由于起始点也为未匹配点，所以在这条路径上，可以增加一对匹配点，怎么做呢？可知在这条增广路径上，匹配边和未匹配边交替出现，且未匹配边比匹配边多一条，所以我们就把未匹配边改为匹配边， 把匹配边改为未匹配边。这样，匹配数就+1了。

 

 

 

四.题型总结：

1.一种模型的图是明确的二分图，如：男与女、x坐标与y坐标、老师与学生等，属于两个不同类别的。在此，假定u为第一类别，v为第二类别，如果u和v相连，那么M[u][v]设为true，但特别要注意的是，不能也把M[v][u]也设置为true。因为数组第一维表示的是第一类别，第二维表示第二类别，所以不能理解为双向图，而应该理解为单向图。且二分图左边的点只能作为边的起点，二分图右边的点只能作为边的终点。 由于此类模型可以为单向图，所以所求得的最大匹配数无需除以2。

2.另一种模型的图则不是二分图，即一般图。这时候需要分情况讨论了：

1）如果图中不含有奇环（环内结点数为奇数），或者可以通过染色分成两部分（每一部分的结点之间没有联系），那么我们就可以把一般图当做二分图来求解：把每个点拆成两个点，其中一个点只作为出点，位于二分图的左边；一个点只作为入点，位于二分图的右边。注：如果题目是无向图，则应该双向建图，然后把得到的最大匹配数/2；如果是单向图，则建单向边，得到的最大匹配即为答案。

2）如果图中含有奇环，那么就只能用一般图匹配带花树来求解了。

 

 

五.题目类型：

 

1.最大匹配：

HDU1045 Fire Net

HDU2444 The Accomodation of Students

HDU1083 Courses 

HDU1281 棋盘游戏 

HDU2819 Swap

HDU2389 Rain on your Parade

HDU4185 Oil Skimming

POJ3020 Antenna Placement 

 

2.最小点覆盖：

CSU-1531 Jewelry Exhibition

UVA11419 SAM I AM

HDU1054 Strategic Game

 

3.最小边覆盖：

POJ3020 Antenna Placement 

 

4.最大独立集：

UVALive3415 Guardian of Decency

HDU3829 Cat VS Dog

 

5.最大团：

POJ3692 Kindergarten 

 

6.最小路径覆盖：

UVALive3126 Taxi Cab Scheme 

HDU1151 Air Raid 

POJ2594 Treasure Exploratio

 

7.输出最小覆盖点集：

UVA11419 SAM I AM

 

8.一般图匹配带花树：

URAL1099 Work Scheduling

 

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