蓝桥杯算法训练 乘积最大（动态规划 C语言）

问题描述
  今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

  设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。

  同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：
有一个数字串：312， 当N=3，K=1时会有以下两种分法：
3 * 12=36
31 * 2=62
  这时，符合题目要求的结果是：31*2=62

  现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

输入格式
程序的输入共有两行：
　　第一行共有2个自然数N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）
　　第二行是一个长度为N的数字串。

输出格式
输出所求得的最大乘积（一个自然数）。

样例输入
4 2
1231
样例输出
62
8

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解题思路

1.该题是动态规划类型的题目，能划分成小问题取得最优值
2.观察其状态得状态转移方程：
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[x][j-1] * num(x+1,i))

 其中dp[i][j]表示i个数字字符（为了方便表示）j个乘号所组成的最大值。
例如：给其数字串16851求dp[5][2]就需要求出：dp[2][1]、dp[3][1]、dp[4][1]，求dp[4][1]就需要求出dp[3][0]、dp[2][0]、dp[1][0]。最后都取其中的最大值。

看不懂代码下面还有讲解

代码实现如下：

#include
#define max(a,b) a>b?a:b
long long dp[42][8];//dp[i][j]表示i个数j个乘号的最大值，设想成矩阵表示 
char c[42]; 
long long num(int a,int b){//将第a位到第b位的字符转为数字 
	int i,sum=0;
	for(i=a;i<=b;i++)
		sum=sum*10+c[i-1]-'0';
	return sum;
}
int main(){
	int n,k,i,j,x;
	scanf("%d%d",&n,&k);
	scanf("%s",c);
	for(i=1;i<=n;i++)
		dp[i][0]=num(1,i);//填补矩阵中没有乘号有用的dp值
	for(i=2;i<=n;i++){
		for(j=1;j<=k&&j<i;j++)//i个数最多能加入i-1个乘号 
		for(x=1;x<i;x++)//x表示将乘号插入的位置 ，x不能大于i
			dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[x][j-1]*num(x+1,i)); //一直取最大值 
	}
	printf("%d",dp[n][k]);
	return 0;
}

  既然不能一次性看懂这段代码何尝不试着拆分理解呢？

  在第17到第21行的代码，其中i和j是为了绘制几个数和几个乘号矩阵，x在该数每个位置枚举插入乘号求该矩阵（i，j）这个格子的最优值。

以n=4，k=2,输入1231求dp[4][2]为例列下面这个矩阵

纵 i 横 j	0	1	2
2	12	2	无
3	123	23	6
4	1234	231	62

计算过程如下：

dp[4][2]=0

dp[4][2]=dp[2][1] * 31=62   dp[4][2]=62

dp[4][2]=dp[3][1] * 1=23   dp[4][2]=62

所以最终dp[4][2]=62