蓝桥杯算法训练 乘积最大(动态规划 C语言)

问题描述
  今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”,又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛,组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动,你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中,主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目:

  设有一个长度为N的数字串,要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分,找出一种分法,使得这K+1个部分的乘积能够为最大。

  同时,为了帮助选手能够正确理解题意,主持人还举了如下的一个例子:
有一个数字串:312, 当N=3,K=1时会有以下两种分法:
3 * 12=36
31 * 2=62
  这时,符合题目要求的结果是:31*2=62

  现在,请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序,求得正确的答案。

输入格式
程序的输入共有两行:
  第一行共有2个自然数N,K(6≤N≤40,1≤K≤6)
  第二行是一个长度为N的数字串。

输出格式
输出所求得的最大乘积(一个自然数)。

样例输入
4 2
1231
样例输出
62
8


解题思路

1.该题是动态规划类型的题目,能划分成小问题取得最优值
2.观察其状态得状态转移方程:
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[x][j-1] * num(x+1,i))

其中dp[i][j]表示i个数字字符(为了方便表示)j个乘号所组成的最大值。
例如给其数字串16851求dp[5][2]就需要求出:dp[2][1]、dp[3][1]、dp[4][1],求dp[4][1]就需要求出dp[3][0]、dp[2][0]、dp[1][0]。最后都取其中的最大值。

看不懂代码下面还有讲解

代码实现如下:

#include
#define max(a,b) a>b?a:b
long long dp[42][8];//dp[i][j]表示i个数j个乘号的最大值,设想成矩阵表示 
char c[42]; 
long long num(int a,int b){//将第a位到第b位的字符转为数字 
	int i,sum=0;
	for(i=a;i<=b;i++)
		sum=sum*10+c[i-1]-'0';
	return sum;
}
int main(){
	int n,k,i,j,x;
	scanf("%d%d",&n,&k);
	scanf("%s",c);
	for(i=1;i<=n;i++)
		dp[i][0]=num(1,i);//填补矩阵中没有乘号有用的dp值
	for(i=2;i<=n;i++){
		for(j=1;j<=k&&j<i;j++)//i个数最多能加入i-1个乘号 
		for(x=1;x<i;x++)//x表示将乘号插入的位置 ,x不能大于i
			dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[x][j-1]*num(x+1,i)); //一直取最大值 
	}
	printf("%d",dp[n][k]);
	return 0;
}

  既然不能一次性看懂这段代码何尝不试着拆分理解呢?

  在第17到第21行的代码,其中i和j是为了绘制几个数和几个乘号矩阵,x在该数每个位置枚举插入乘号求该矩阵(i,j)这个格子的最优值。

以n=4,k=2,输入1231求dp[4][2]为例列下面这个矩阵

纵 i 横 j 0 1 2
2 12 2
3 123 23 6
4 1234 231 62

计算过程如下:

dp[4][2]=0

dp[4][2]=dp[2][1] * 31=62   dp[4][2]=62

dp[4][2]=dp[3][1] * 1=23   dp[4][2]=62

所以最终dp[4][2]=62

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