AtCoder Grand Contest 017D Game on Tree 树的删边游戏

Description


给定一棵有根树,两个人轮流操作,每次可以切除树上的一条边把子树扔掉。问谁能必胜
n ≤ 1 0 5 n\le10^5 n105

Solution


这个树上切边博弈好像是结论啊

考虑这样一个形状的树的sg
AtCoder Grand Contest 017D Game on Tree 树的删边游戏_第1张图片
假设我们知道了sg[y],我们连出一条x-y的边等价于给y子树中的所有状态增加了一个sg为0的后继状态
考虑到sg求的是mex,那么就有sg[x]=sg[y]+1了

于是一个x为根的子树可以被拆成若干个这种形状,(虽然x出现了很多次但是这并不影响)
然后我们对这些后继局面求一个异或和就可以得到当前子树的sg了

讲一下怎么搞图的删边游戏把
一般来讲我们要给图钦定一个根,然后删掉一条边就删去不与根连通的块,问谁必胜

注意到图和树的区别在于环的有无。
考虑奇环的情况,我们删掉任意一条环上的边,剩余的链长度为偶数。根据上面又可以发现一条链的sg恰好就是它的长度(>=2),那么一个奇环的sg就是1了
考虑偶环的情况,和上面一样可以得到剩余链的长度至少为1,那么一个偶环的sg就是0
于是我们就可以缩环,把奇环变成一条边+一个点,把偶环变成一个点,然后按照树的删边做就可以辣

Code


#include 
#include 
#include 
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)

const int N=100005;

struct edge {int y,next;} e[N*2];

int f[N],ls[N],edCnt;

int read() {
	int x=0,v=1; char ch=getchar();
	for (;ch<'0'||ch>'9';v=(ch=='-')?(-1):(v),ch=getchar());
	for (;ch<='9'&&ch>='0';x=x*10+ch-'0',ch=getchar());
	return x*v;
}

void add_edge(int x,int y) {
	e[++edCnt]=(edge) {y,ls[x]}; ls[x]=edCnt;
	e[++edCnt]=(edge) {x,ls[y]}; ls[y]=edCnt;
}

void dfs(int x,int d,int fa) {
	f[x]=0;
	for (int i=ls[x];i;i=e[i].next) {
		if (e[i].y==fa) continue;
		dfs(e[i].y,d+1,x);
		f[x]^=f[e[i].y]+1;
	}
}

int main(void) {
	int n=read();
	rep(i,2,n) add_edge(read(),read());
	dfs(1,1,0);
	puts(f[1]?"Alice":"Bob");
	return 0;
}

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