luogu1052：过河：线性DP+路径压缩

题目连接

• 该题是luogu试炼场的2-18：T6

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题目大意

1. 在一个长度是n的数轴上，有m个格子有石头；
2. 从0出发，跳出数轴，每次可以跳 s-t 的距离；
3. 问：要求踩到尽可能少石头的情况下，踩了多少石头。
4. n是10⁹ ，m的范围是100（最多100个石头）；

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题目分析

• 在没看到n的范围之前，这是一道非常直观的线性DP，30%的分数稳了。

• 100%的数据，显然要想优化才行。

• 30分思路与代码

• 100分思路与代码

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30分思路：线性DP，拿了分再说

• 问什么设什么：f[i]从起点第0格跳到第 i 格，踩到的最少石头是多少；
  
• 观察上图，i 点只能从 j 点跳过来所以可以很容易想到转移方程：

f[i]= min(f[i], f[j]| i-t<=j<=i-s))+a[i]; //a数组表示第 i 点是否有石头；

• 还有一个细节需要注意，题目说跳过终点就可以，不一定要到达终点，所以数组稍微开大一点，最后询问从终点 n 到 n+t 的范围，才是答案。

30分参考代码

//luogu1052：过河
//30%的做法：线性DP 

#include
using namespace std;

int n,m,s,t,ans=999999999; 
int a[100005],f[100005];

int main()
{
	scanf("%d",&n);//桥的长度
	
	scanf("%d %d %d",&s,&t,&m);
	
	for(int i=1;i<=m;i++) 
	{
		int x; scanf("%d",&x);
		a[x]=1;
	}
	
	memset(f,127,sizeof(f));
	f[0]=0;	
	for(int i=s;i=0) f[i]=min(f[i],f[i-j])+a[i];
		}
	}
	
	for(int i=n;i

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100分思路：路径空间压缩

• DP的基础思路不变，但是因为n的范围是10⁹，所以 f 数组的空间无法满足要求；
• 仔细分析题目，会发现，石头的最大值只有100个，也就是说，在一个很长的数轴上，只有很少的点，这是一个很稀疏的图， 根据离散的思维，可以把两点之间的距离大幅地缩减。

路径压缩分析

• 压缩的范围可以从题目中找方法，题目说青蛙每次只能跳1<=s<=t<=10的距离，所以对1-10求最小公倍数，答案是2520，也就是说，如果从a点出发，一定能跳到 a+2520 点和 a+x*2520的点，如下图：
  
• 设当前是从 a 点跳到 b 点， b 点可能有石头（说明 a 点和 b 点之间，一定没有石头，怎么跳都不影响答案）；
• 按照下面的图分析：可以分情况讨论：
  1 如果 a < b< a+2520，则正常操作；
  
  2 如果 a + 2520 < b，则让 a 先跳到 a+2520 的点上，再重复 1 的操作；
  
  3 依次类推，如果 a + x * 2520 < b，可以看作 a 可以直接飞过中间的x个区间，到离 b 最近的一个位置，在按照1的操作执行；
• 根据以上的操作，可以把任意两个点之间的距离d，压缩到 2520 以内，因此 f 数组的空间就可以从原来 10⁹ 缩小到 50W以内，然后就可以正常跑DP了。
• 还有一个细节，石头的位置需要先排序（题目没有说按顺序给）；

100分参考代码

//luogu1052：过河
//线性DP+状态压缩 

#include
using namespace std;

int n,m,s,t,ans=999999999; 
int a[210];
int f[1000005];
int b[1000005];
int d[210];

int main()
{
	scanf("%d",&n);//桥的长度
	
	scanf("%d %d %d",&s,&t,&m);
	
	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&a[i]);
	
	sort(a+1,a+1+m);
	
	//距离压缩 
	for(int i=1;i<=m;i++) d[i]=(a[i]-a[i-1])%2520;//计算出石子之间的距离（压缩后） 
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		a[i]=a[i-1]+d[i];//更新石子的位置
		b[a[i]]=1; 
	}
	n=a[m];//因为距离压缩了，对岸也压缩了 
	
	//正常跑DP 
	memset(f,127,sizeof(f));
	f[0]=0;
	for(int i=1;i<=n+t;i++)
	{
		for(int j=s;j<=t;j++)
		{
			if(i-j>=0) f[i]=min(f[i],f[i-j])+b[i];
		}
	}
	
	for(int i=n;i