洛谷-5175 数列

题目描述
一个数列$a_n$，已知$a_1$及$a_2$​两项。
数列$a_n$​满足递推式$a_n=x\times a_{n-1}+y\times a_{n-2}(n\ge 3)$
求$$\sum _{i=1}^n{a}_i^2.$$
由于答案可能过大，对$10^9+7$取模。

输入格式
第一行一个整数T，即数据组数。
下面T行，每行5个整数，$n,a_1,a_2,x,y$，含义如上。

输出格式
共T行，每行一个整数，即为每组数据的答案。

输入输出样例
输入 #1
3
5 1 1 1 1
4 3 4 3 2
461564597527246 987489553 321654648 164165256 315648984

输出 #1
40
4193
480929868

说明/提示
对于100%的数据，$T=30000,1\le n\le 10^{18},1\le a_1,a_2,x,y\le 10^9$

解释：尝试矩阵快速幂，
$$a_n^2=x^2{a}_{n-1}^2+y^2{a}_{n-2}^2+2xy{a}_{n-1}{a}_{n-2}$$
$a_n^2$都是线性关系，关键是怎么推导$a_{n-1}{a}_{n-2}$,这里吗我把把它看成一个整体，则
$$a_n{a}_{n-1}=(x{a}_{n-1}+y{a}_{n-2})a_{n-2}=x{a}_{n-1}^2+y{a}_{n-1}{a}_{n-2}$$
那么我们可以定义矩阵
$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 0& x^2& y^2& 2xy\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& x& 0& y\end{array}\right]$$
$$Y=\left[\begin{array}{c}su{m}_{n-1}\\ a_n^2\\ a_{n-1}^2\\ a_n{a}_{n-1}\end{array}\right]$$
则
$$\left[\begin{array}{c}su{m}_n\\ a_{n+1}^2\\ a_n^2\\ a_{n+1}{a}_n\end{array}\right]=A^{n-1}\left[\begin{array}{c}su{m}_1\\ a_2^2\\ a_1^2\\ a_2{a}_1\end{array}\right]$$
直接矩阵快速幂

#include
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
void mul(long long a[][5],long long b[][5]){
    long long c[5][5]={0};
    for(int i=1;i<=4;i++){
        for(int j=1;j<=4;j++){
            for(int k=1;k<=4;k++){
                c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j]%mod;
                c[i][j]%=mod;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=4;i++) for(int j=1;j<=4;j++) a[i][j]=c[i][j];
}
void pow(long long a[][5],long long b){
    long long ret[5][5]={0};
    ret[1][1]=ret[2][2]=ret[3][3]=ret[4][4]=1;
    while(b){
        if(b&1){
            mul(ret,a);
        }
        mul(a,a);b>>=1;
    }
    for(int i=1;i<=4;i++) for(int j=1;j<=4;j++) a[i][j]=ret[i][j];
}
long long a[5][5]={0};
long long T=0;
long long n=0,a1=0,a2=0,x=0,y=0;
long long ret=0;
int main(){
    scanf("%lld",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&a1,&a2,&x,&y);
        x%=mod;y%=mod;a1%=mod;a2%=mod;
        a[1][1]=1;a[1][2]=1;a[1][3]=0;a[1][4]=0;
        a[2][1]=0;a[2][2]=x*x%mod;a[2][3]=y*y%mod;a[2][4]=2*x%mod*y%mod;
        a[3][1]=0;a[3][2]=1;a[3][3]=0;a[3][4]=0;
        a[4][1]=0;a[4][2]=x;a[4][3]=0;a[4][4]=y;
        pow(a,n-1);
        ret=(a[1][1]*a1%mod*a1%mod+a[1][2]*a2%mod*a2%mod)%mod+(a[1][3]*a1%mod*a1%mod+a[1][4]*a2%mod*a1%mod)%mod;
        ret%=mod;
        printf("%lld\n",ret);
    }
    return 0;
}