最大公约数GCD算法讲解（欧几里德证明）

Greatest Common Divisor(GCD)

欧几里得算法据说是最早的算法，用于计算最大公约数，也是数论的基础算法之一。

1.欧几里德算法的思想：

欧几里德算法的思想基于辗转相除法的原理，辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，欧几里德算法说白了其实就是辗转相除法的计算机算法的实现而已。下面我们先说说辗转相除法，辗转相除法的内容：如果用gcd(a,b)来表示a和b的最大公约数，那么根据辗转相除法的原理，有gcd(a,b)=gcd(b,a mod (b))，其中mod()表示模运算，并且不妨让a>b,这样方便于模运算。

 

2.辗转相除法的正确性gcd(a,b)=gcd(b,a mod (b))的证明：

第一步：令c为a和b的最大公约数，数学符号表示为c=gcd(a,b).因为任何两个实数的最大公约数c一定是存在的，也就是说必然存在两个数k1,k2使得a=k1.c, b=k2.c

第二步：a mod (b)等价于存在整数r,k3使得余数r=a – k3.b.

             即r = a – k3.b

            = k1.c – k3.k2.c

            = (k1 – k3.k2).c

        显然，a和b的余数r是最大公因数c的倍数。

3.欧几里德算法的优点：

通过模运算的余数是最大公约数之间存在的整数倍的关系，来给比较大的数字进行降维，方便手算；同时，也避免了在可行区间内进行全局的最大公约数的判断测试，只需要选取其余数进行相应的计算就可以直接得到最大公约数，大大提高了运算效率。

这里给出使用欧几里得算法求最大公约数的递归和非递归的程序，同时给出穷举法求最大公约数的程序。

从计算时间上看，递推法计算速度最快。

程序中包含条件编译语句用于统计分析计算复杂度。

/*
 * 计算两个数的最大公约数三种算法程序
 */

#include 

//#define DEBUG
#ifdef DEBUG
int c1=0, c2=0, c3=0;
#endif

int gcd1(int, int);
int gcd2(int, int);
int gcd3(int, int);

int main(void)
{
    int m=42, n=140;

    printf("gcd1: %d %d result=%d\n", m, n, gcd1(m, n));
    printf("gcd2: %d %d result=%d\n", m, n, gcd2(m, n));
    printf("gcd3: %d %d result=%d\n", m, n, gcd3(m, n));
#ifdef DEBUG
    printf("c1=%d  c2=%d  c3=%d\n", c1, c2, c3);
#endif

    return 0;
}

/* 递归法：欧几里得算法，计算最大公约数 */
int gcd1(int m, int n)
{
#ifdef DEBUG
    c1++;
#endif
    return (m==0)?n:gcd1(n%m, m);
}

/* 迭代法（递推法）：欧几里得算法，计算最大公约数 */
int gcd2(int m, int n)
{
    while(m>0)
    {
#ifdef DEBUG
    c2++;
#endif
        int c = n % m;
        n = m;
        m = c;
    }
    return n;
}

/* 连续整数试探算法，计算最大公约数 */
int gcd3(int m, int n)
{
    if(m>n) {
        int temp = m;
        m = n;
        n = temp;
    }
    int t = m;
    while(m%t || n%t)
    {
#ifdef DEBUG
    c3++;
#endif
        t--;
    }
    return t;
}

转载：https://blog.csdn.net/tigerisland45/article/details/51151529

推荐：https://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html