最大公约数GCD算法讲解(欧几里德证明)

Greatest Common Divisor(GCD)

欧几里得算法据说是最早的算法,用于计算最大公约数,也是数论的基础算法之一。

1.欧几里德算法的思想:

欧几里德算法的思想基于辗转相除法的原理,辗转相除法是欧几里德算法的核心思想,欧几里德算法说白了其实就是辗转相除法的计算机算法的实现而已。下面我们先说说辗转相除法,辗转相除法的内容:如果用gcd(a,b)来表示ab的最大公约数,那么根据辗转相除法的原理,有gcd(a,b)=gcd(b,a mod (b)),其中mod()表示模运算,并且不妨让a>b,这样方便于模运算。


 

2.辗转相除法的正确性gcd(a,b)=gcd(b,a mod (b))的证明:

第一步:令cab的最大公约数,数学符号表示为c=gcd(a,b).因为任何两个实数的最大公约数c一定是存在的,也就是说必然存在两个数k1,k2使得a=k1.c, b=k2.c

第二步:a mod (b)等价于存在整数r,k3使得余数r=a – k3.b.

             r = a – k3.b

            = k1.c – k3.k2.c

            = (k1 – k3.k2).c

        显然,ab的余数r是最大公因数c的倍数。

3.欧几里德算法的优点:

通过模运算的余数是最大公约数之间存在的整数倍的关系,来给比较大的数字进行降维,方便手算;同时,也避免了在可行区间内进行全局的最大公约数的判断测试,只需要选取其余数进行相应的计算就可以直接得到最大公约数,大大提高了运算效率。

最大公约数GCD算法讲解(欧几里德证明)_第1张图片

这里给出使用欧几里得算法求最大公约数的递归和非递归的程序,同时给出穷举法求最大公约数的程序。

从计算时间上看,递推法计算速度最快。

程序中包含条件编译语句用于统计分析计算复杂度。

/*
 * 计算两个数的最大公约数三种算法程序
 */

#include 

//#define DEBUG
#ifdef DEBUG
int c1=0, c2=0, c3=0;
#endif

int gcd1(int, int);
int gcd2(int, int);
int gcd3(int, int);

int main(void)
{
    int m=42, n=140;

    printf("gcd1: %d %d result=%d\n", m, n, gcd1(m, n));
    printf("gcd2: %d %d result=%d\n", m, n, gcd2(m, n));
    printf("gcd3: %d %d result=%d\n", m, n, gcd3(m, n));
#ifdef DEBUG
    printf("c1=%d  c2=%d  c3=%d\n", c1, c2, c3);
#endif

    return 0;
}

/* 递归法:欧几里得算法,计算最大公约数 */
int gcd1(int m, int n)
{
#ifdef DEBUG
    c1++;
#endif
    return (m==0)?n:gcd1(n%m, m);
}

/* 迭代法(递推法):欧几里得算法,计算最大公约数 */
int gcd2(int m, int n)
{
    while(m>0)
    {
#ifdef DEBUG
    c2++;
#endif
        int c = n % m;
        n = m;
        m = c;
    }
    return n;
}

/* 连续整数试探算法,计算最大公约数 */
int gcd3(int m, int n)
{
    if(m>n) {
        int temp = m;
        m = n;
        n = temp;
    }
    int t = m;
    while(m%t || n%t)
    {
#ifdef DEBUG
    c3++;
#endif
        t--;
    }
    return t;
}


转载:https://blog.csdn.net/tigerisland45/article/details/51151529

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