后缀自动机（SAM） 速成抢救blog 洛谷P3804

后缀自动机（SAM） 速成抢救blog 洛谷P3804

在网上看到了一篇很好的关于后缀自动机的博客，他没有说太多的后缀自动机的原理，全篇只有一个要点——如何构建及操作后缀自动机，这是非常好的东西！

所以，先附上这篇大佬的blog：https://www.cnblogs.com/sclbgw7/p/10197629.html

本篇基本借助于这位大佬的理解，并加上自己的一些理解，酌情阅读

后缀自动机（SAM）是一种极其有用的处理字符串的数据结构，可以用于处理几乎任何有关于子串的问题，但以学起来异常困难著称！但是！！！当你学了SAM并熟练地刷了几道题后，你会发现——你之前为了学SAM而强行理解的许多定理，对你应用SAM一点用处也没有！为了引出构造算法，几乎所有博客都会详细地解释“你为啥要这样做”，然鹅。。。（并没有什么卵用）所以这篇blog，是一片速成SAM构建和操作的blog，如果怕你想完全理解SAM，请上百度搜索 “后缀自动机 陈立杰”，保管有用！！（虽然我自己看不懂）

要想运用，首先得构造，在构造的同时，你得明白你定义的数组的含义，这样你才会明白你构造的SAM会得到什么东西，以及他们是如何得到的（粗糙理解即可）。

数组理解：

SAM是一个DAG（有向无环图），每个点代表一个**“状态”，边代表状态转移，边上有一个字母。SAM有一个起始状态（称为起点），从起点开始，沿着边不断走下去，就可以得到一个字符串。记当前停留节点为x，从x走出来的字符串为S，称节点x可代表字符串S。记x可代表的串中 长度最长的串的长度为*le**n*(x)。

另外，除起点外的每个节点还拥有一个**“后缀链接“**，记作fa[x]。后缀链接组成了一棵树，它的其他性质在构建完之后再讲。

存储SAM是利用的类似于Trie树的存储结构，即使用ch[n] [26]数组保存状态转移的边。

构建：

​ 准备工作：建立数组ch,fa,len，准备指针last,cnt。SAM的构造方法是不断地向已经建好的SAM中加入新的节点。last表示上一个被插入的节点，cnt表示SAM中的节点数量。一开始，last=cnt=1，表示只有一个起点的初始SAM。

接下来,每次往SAM里加入一个字符x

1. 新建节点np=++cnt ，新建节点p ，p=last ，last=np 。
2. 如果不存在ch[p] [x] ，令ch[p] [x]=np，p=fa[p] 。重复此步骤(while循环)。
3. 如果到最后还没有一个p拥有儿子x ，令fa[np]=1 ，并退出过程。
4. 当ch[p] [x] 出现时，令q=ch[p] [x] 。如果len[q]==len[p]+1 ，令fa[np]=q 。退出过程。
5. 否则，新建节点nq=++cnt ，将q 的儿子都复制给nq ，令len[nq]=len[p]+1 。
6. 令fa[nq]=fa[q],fa[q]=fa[np]=nq 。
7. 从p开始沿着后缀链接，将所有ch[p] [x]==q的节点的ch[p] [x] 都替换成 nq。

将你的字符串的所有字符都一一进行如上操作后，你就得到了用你的字符串构建出来的SAM。

void insert(int x)
{
    int np=++cnt,p=last;
    len[np]=len[p]+1,last=np;
    while(p&&!ch[p][x])ch[p][x]=np,p=fa[p];
    if(!p)fa[np]=1;
    else
    {
        int q=ch[p][x];
        if(len[q]==len[p]+1)fa[np]=q;
        else
        {
            int nq=++cnt;len[nq]=len[p]+1;
            memmove(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[nq]));
            fa[nq]=fa[q],fa[np]=fa[q]=nq;
            while(ch[p][x]==q)ch[p][x]=nq,p=fa[p];
        }
    }
}

你不需要知道为什么这么操作可以得到SAM，你只需要记下以下的代码，做几道题强化记忆，然后就可以用SAM的性质来秒题了。

后缀自动机的一些性质：

​ 首先，SAM的点数与边数都是O(n)O(n) 的。记住，由于每次插入最多新建两个点，所以应该开字符总量两倍的空间。计算空间时别忘了你开了26倍的c**hch 数组。

在SAM上从起点开始沿着边随便走走，得到的一定是子串。同时，每一个子串都可以在SAM上走出一条唯一对应的路径。也就是说，子串和SAM上从起点开始的每一条路径一一对应。路径数等于子串数。

起点可以看做是代表空串的点。

重点：定义子串的 right集合：这个子串在原串中所有出现的位置的右端点的集合。

比如说：AAAABBAAAAABAAABBAA

子串AAB出现了3次，右端点集合为{5,12,16} 。这就是子串AAB的 right 集合。

一个节点能够代表的所有子串的right集合是一样的。right集合相等的子串一定被同一个节点代表。（所以，我们会使用“节点的right 集合”这个说法。）两个节点的right集合之间要么真包含，要么没有交集。若节点 y 的right 集合包含了节点x的right 集合，那么y能代表的子串均为x能代表的子串的真后缀。

重点：定义节点x的后缀链接fa(x) ：如果有一些节点的right集合包含了x的right集合，fa(x)是right集合中大小最小的那一个。

后缀链接们组成了一棵“后缀链接树”（不是后缀树）。后缀链接树的根为起点。若节点y的right集合包含了节点x的right集合，那么y在后缀链接树上是x的祖先。

一个节点的right集合等于他在后缀链接树上的所有儿子的right集合的并集。而且儿子的right集合之间两两没有交集。

每个节点能代表的子串的长度范围是一段连续的区间。这很好理解，因为它们的结束位置都是相同的。

我们求出每个节点能代表的最长串的长度（即len(x)）了，那最短长度呢？其实就等于后缀父亲节点的len+1 。也就是说，所有本质不同的子串的数量等于∑len(x)−len(f**a(x)) 。

下面来上一道题 洛谷P3804 后缀数组（模板题）

#include 
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn=2e6+7;
char str[maxn];
int l;
int ch[maxn][26],fa[maxn],len[maxn],last=1,cnt=1;//表示上一个被插入的节点，cnt表示SAM中节点的数量，初始的时候均为1，代表后缀自动机的初始状态
//ch数组类似于trie树的存储结构，代表每一条边
struct Edge{
    int t,nxt;
}edge[maxn];
int head[maxn],cnt1=0;
ll ans=0,z[maxn];
void insert(int x){//x为要插入的字符
    int np=++cnt,p=last;
    len[np]=len[p]+1,last=np,z[cnt]=1;//本题中z代表每一个子串(包括相同本质的子串)出现的个数
    while(p&&!ch[p][x])     ch[p][x]=np,p=fa[p];
    if(!p)  fa[np]=1;
    else{
        int q=ch[p][x];
        if(len[q]==len[p]+1)fa[np]=q;
        else{
            int nq=++cnt;len[nq]=len[p]+1;
            memmove(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[nq]));
            fa[nq]=fa[q],fa[np]=fa[q]=nq;
            while(ch[p][x]==q)ch[p][x]=nq,p=fa[p];
        }
    }
}//构建SAM
void link(int a,int b){
    cnt1++;
    edge[cnt1].t=b;
    edge[cnt1].nxt=head[a];
    head[a]=cnt1;
}//用链表结构存每一个节点子串的后缀(存节点，每一个节点就是一个子串)暴力建parent树
void dfs(int node){
    for(int i=head[node];i;i=edge[i].nxt)
        dfs(edge[i].t),z[node]+=z[edge[i].t];
    if(z[node]>1)
        ans=max(ans,z[node]*len[node]);
}
int main(){
    scanf("%s",str),l=strlen(str);
    for(int i=0;i<l;i++){
        int id=str[i]-'a';
        insert(id);//插入字符
    }
    for(int i=2;i<=cnt;i++) 
        link(fa[i],i);//链表结构，有点像暴力键parent树
    dfs(1);//dfs(求得ans)
    printf("%lld",ans);
return 0;
}

一、right集合的定义：

right集合就是指某一子串在原串当中出现的所有的位置的集合，也在某位大佬博客中叫做endpos集合；

二、right集合（endpos集合）相同的我们称为endpos等价类（重点理解）

三、对于任意两个endpos集合中，那么必然为其中一个为另一个的子串，或者两者绝无交集

四、endpos的等价类的数量为O（n）后缀自动的边数也是O（n）

五、我们在求parent树的时候其实是在对endpos的所有等价类进行分割操作，分割出的节点便是parent树上的节点

六、parent树跟后缀自动机节点相同，但是所应用的范围不同:

parent树主要是来求每个节点的性质（或者说字符子串的性质）而SAM其本身主要用于直接跑字符串

同时，我们可以感性的认为，parent树上的连边主要是由于在子串前加上某一字符，而后缀自动机是在某一子串后面加上字符

七、后缀自动机连边的时候，我们认为一个endpos等价类的后面加上一个字符其定然变成了另一个等价类，这样我们就可以来说明后缀自动机的连边是存在的；