合并石子 (区间DP)

1274:【例9.18】合并石子

【题目描述】
在一个操场上一排地摆放着N堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆,并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。
计算出将N堆石子合并成一堆的最小得分。

【输入】
第一行为一个正整数N (2≤N≤100);
以下N行,每行一个正整数,小于10000,分别表示第i堆石子的个数(1≤i≤N)。
【输出】
一个正整数,即最小得分。
【输入样例】
7
13
7
8
16
21
4
18
【输出样例】
239

思路:
这是一道动态规划中的区间DP问题。
从阶段、状态、决策三个方面进行考虑(所谓阶段:每一个子问题的求解都构成一个阶段,要完成了当前阶段,才能往下一个阶段转移)。也就是说阶段数=n-1;
对于一个数列,用f[i][j]表示从第 i 堆到第 j 堆合并在一起,求得的最小值(区间结果)。所以 i 可以从n-1开始慢慢往前考虑,在其中 j 可以从i的后面到 n之间考虑。在 i与 j堆中用第 k 堆进行划分(前 i ~ k 一堆 + 第 k+1 ~ j 是一堆),是两个长度较小的信息往上合并,所以公式可以写为:f[i][j] = min( f[i][j], f[i][k]+f[k+1][j]+这两堆合并需要的石子 )。
注意:
1、因为要求 最小值,所以将 f 数组初始化为一个交大的数,但是因为涉及到每次 i 变了之后,开始遍历 j 与 k 时,一开始考虑的都有f[i][i], 所以将f[i][i]都初始化为0,因为自己与自己合并不需要算石子,本来自己就是一堆。
2、求两堆合并时需要的石子的时候,可以使用 s 数组,s[i] 表示前 i 堆石子总共的石子数,这样用就可以知道随便连续几堆的石子数了。

所以方程为f[i][j] = min( f[i][j], f[i][k] + f[k+1][j] - s[i-1] + s[j] )

ps:有一些区间DP是环形的,解决DP中环形结构的常用手段之一:任意选择一个位置断开,复制形成2倍长度的链。
(参考大神博客:)https://blog.csdn.net/weixin_42557561/article/details/83019419

核心代码:

for(int i=n-1;i>=1;i--)//从i开始往后考虑  阶段 
 {
  for(int j=i+1;j<=n;j++)//到 j    状态
  {
   for(int k=i;k<=j-1;k++)//i与j内 以k为分界线  决策 
   {
    //状态转移方程  记得要算选出的这两堆组合起来要加的石子 
    f[i][j] = min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]-s[i-1]+s[j]);
   } 
   } 
  } 

本题代码:

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
//区间DP 问题 
//f[i][j]表示从第i堆石子到第j堆石子的最小值 

int main()
{
 int n;
 cin>>n;
 int a[101];//记录石子
 int s[101];//表示前i堆石子的和
 int f[101][101];//记录结果 
 memset(s,0,sizeof(s));
 memset(f,127,sizeof(f));//初始化一个较大的值,才能求得最小 
 for(int i=1;i<=n;i++)
 {
  cin>>a[i];
  s[i]=s[i-1]+a[i];
  f[i][i]=0;//f的部分初始化 因为自己和自己堆一起不需要堆 这样后面的公式才能产生作用 
  } 
  //过程 
 for(int i=n-1;i>=1;i--)//从i开始往后考虑  阶段 
 {
  for(int j=i+1;j<=n;j++)//到 j    状态
  {
   for(int k=i;k<=j-1;k++)//i与j内 以k为分界线  决策 
   {
    //状态转移方程  记得要算选出的这两堆组合起来要加的石子 
    f[i][j] = min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]-s[i-1]+s[j]);
   } 
   } 
  } 
   
 cout<<f[1][n]<<endl;//考虑从 i到 n 全部的最优值 
 return 0;
}

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