AcWing 284. 金字塔【区间计数DP】

虽然探索金字塔是极其老套的剧情，但是有一队探险家还是到了某金字塔脚下。

经过多年的研究，科学家对这座金字塔的内部结构已经有所了解。

首先，金字塔由若干房间组成，房间之间连有通道。

如果把房间看作节点，通道看作边的话，整个金字塔呈现一个有根树结构，节点的子树之间有序，金字塔有唯一的一个入口通向树根。

并且，每个房间的墙壁都涂有若干种颜色的一种。

探险队员打算进一步了解金字塔的结构，为此，他们使用了一种特殊设计的机器人。

这种机器人会从入口进入金字塔，之后对金字塔进行深度优先遍历。

机器人每进入一个房间（无论是第一次进入还是返回），都会记录这个房间的颜色。

最后，机器人会从入口退出金字塔。

显然，机器人会访问每个房间至少一次，并且穿越每条通道恰好两次（两个方向各一次）， 然后，机器人会得到一个颜色序列。

但是，探险队员发现这个颜色序列并不能唯一确定金字塔的结构。

现在他们想请你帮助他们计算，对于一个给定的颜色序列，有多少种可能的结构会得到这个序列。

因为结果可能会非常大，你只需要输出答案对109109 取模之后的值。

输入格式

输入仅一行，包含一个字符串S，长度不超过300，表示机器人得到的颜色序列。

输出格式

输出一个整数表示答案。

思路：用dp[i][j] 表示区间能表示的最大可能方案数，边界的话dp[i][i] = 1 (1 <= i <= n), 首先对于一个区间[l, r] ，如果s[l] != s[r] ,按照题目要求原路返回，说明不是合法的方案，那么这种情况就为0，相等的话我们枚举一个划分点k，将区间划分成[l + 1, k - 1] 和

[k, r] 两个子区间。还了解到了：对于方案类计数类的DP问题，通常一个状态的各个决策之间满足“加法原理”， 而每个决策划分的几个子状态之间满足“乘法原理”。一个状态的所有决策之间必须具有互斥性，才能保证不会出现重复计数的情况。

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
#define lson l, mid, rt << 1
#define rson mid + 1, r, rt << 1|1
const int maxn = 1e3 + 10;
const int mod = 1e9;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int dp[maxn][maxn]; //dp[i][j] 表示区间[i, j]对应的最大可能方案
char s[maxn];

int main()
{
    scanf("%s", s + 1);
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    int n = strlen(s + 1);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        dp[i][i] = 1; //边界
    for(int l = 2; l <= n; ++l)
    {
        for(int i = 1; i + l - 1 <= n; ++i)
        {
            int j = i + l - 1;
            if(s[i] != s[j]) //首尾不同不符合为0
                dp[i][j] = 0;
            else
            {   //枚举划分点k，表示由[l + 1, k - 1] 和 [k, r] 两个区间组成
                for(int k = i + 2; k <= j; ++k)
                    dp[i][j] = (dp[i][j] +(ll)dp[i + 1][k - 1] * dp[k][j] % mod) % mod;
            }
        }
    }
    cout << dp[1][n] << endl;
    return 0;
}