恋上数据结构与算法：二叉树的介绍(十一)

文章目录

(一)树形结构
(二)树（Tree）的概念01
(三)树（Tree）的概念02
(四)树（Tree）的概念03
(五)二叉树（Binary Tree）的概念
(六)二叉树（Binary Tree）的性质
(七)真二叉树（Proper Binary Tree）的介绍
(八)满二叉树（Full Binary Tree）的介绍
(九)完全二叉树（Complete Binary Tree）的概念
(十)完全二叉树（Complete Binary Tree）的性质01
(十一)完全二叉树（Complete Binary Tree）的性质02
(十二)完全二叉树（Complete Binary Tree）的面试题
(十三)国外教材的说法

(一)树形结构

数据结构中的树就像是一颗倒挂的树，如下：

生活中很多地方都用到树形结构的概念，如下：

(二)树（Tree）的概念01

说明：

1. 下面红色圈圈圈出来的5棵树，都是权值为1的节点（以下都简称x号节点）的子树
   
2. 下面红色圈圈圈出来的分别是3号节点的左子树和右子树
   又比如：51号节点和52号节点分别是5号节点的左子树和右子树
   左右子树都是相对而言的
   
3. 节点的度是子树的个数，比如：1号节点的度是5，2号节点的度是2
   
4. 树的度是所有节点中的最大值，该树的度是5
5. 叶子节点是度为0的节点，比如：21、31、51、52、61等等

(三)树（Tree）的概念02

说明：

1. 节点的深度是指从根节点到当前节点的唯一路径上的节点总数，比如31号节点的深度就是3
   
2. 节点的高度是指从当前节点到最远叶子节点路径上的节点总数，比如说2号节点的高度不是1（21号子节点不是最远的），而是3（221、222和223都行）
   
3. 树的深度是指所有节点深度中的最大值，该树的深度是4
4. 树的高度是指所有节点高度中的最大值，该树的高度是4
   注意：数据结构的树是一颗倒挂的树，我们只需要在把它倒过来，就可以理解深度和高度了
5. 一般来说，树的深度等于树的高度

(四)树（Tree）的概念03

说明：有序树是指任意子节点之间是有顺序关系的，比如从左到右递增

(五)二叉树（Binary Tree）的概念

说明：

1. 即使某节点只有一颗子树，也要区分左右子树，比如96号节点是87号节点的右子树
2. 只有一个节点的二叉树，那个节点即使根节点，也是叶子节点，如11号节点

(六)二叉树（Binary Tree）的性质

说明：

1. 二叉树的叶子节点的度为0，所以 总节点数=度为0的节点数+度为1的节点数+度为2的节点数
2. 二叉树的边数如下：
   
3. 二叉树的边数等于度，所以 T=n1+2*n2
   
4. 每一个节点的头上都有一条边，唯独根节点的头上没有边，所以 T=n-1
   

(七)真二叉树（Proper Binary Tree）的介绍

(八)满二叉树（Full Binary Tree）的介绍

说明：

1. 在同样高度的二叉树中，满二叉树的叶子节点数量最多、总节点数量最多
   比如下面这颗同高度的二叉树，就像缺斤少两一样
   
2. 满二叉树一定是真二叉树，真二叉树不一定是满二叉树

(九)完全二叉树（Complete Binary Tree）的概念

说明：

1. 完全二叉树从根结点至倒数第 2 层是一棵满二叉树
2. 满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树
3. 排列的规则如下：
   
4. 下面这颗二叉树不是完全二叉树
   

(十)完全二叉树（Complete Binary Tree）的性质01

注意：因为h肯定是整数，假设log2n取4.2，由 h-1 <= log2n < h得 h=5

注意：java的int自带floor功能，比如 int a = 5/2;，a=2

(十一)完全二叉树（Complete Binary Tree）的性质02

• 从1开始编号的情况
  
• 从0开始编号的情况
  

(十二)完全二叉树（Complete Binary Tree）的面试题

分析如下：

最终的数学公式：n0 = floor(n/2 + 1/2)或n0 = floor((n+1)/2)
实际编程的公式：n0 = (n+1) >> 1（int自带floor功能）

其实向下取整（floor）和向上取整（ceiling）是可以互相转换的

(十三)国外教材的说法