树形DP 状态DP

状态压缩动态规划

   动态规划的状态有时候比较难，不容易表示出来，需要用一些编码技术，把状态压缩的用简单的方式表示出来。典型方式：当需要表示一个集合有哪些元素时，往往利用2进制用一个整数表示。

   *：一般有个数据 n<16 或者 n<32 这个很可能就是状态DP的标志，因为我们要用一个int的二进制来表示这些状态。要注意好这些数据规模的提示作用。

   *：确定了为状态DP，那么第一步就是预处理，求出每行所有可能的状态了，cnt记录总的状态数，stk[]记录所有的可能状态。以炮兵阵地为例：

      int cnt, stk[MAX];

 

       void findStk(int n){    // 求出所有可能的状态。

           for(int i = 0; i < (1<               if(ok(i)){                       //  判断这种状态可不可行。
                  stk[cnt] = i;
                  sum[cnt ++] = getSum(i);     //  计算这种状态包含了几个炮兵。
              }
       }

 

       bool ok(int x){          //  判断状态x是否符合，即是否会出现两个大炮间隔小于2。
           if(x & (x<<1)) return false;
           if(x & (x<<2)) return false;
           return true;
       }

 

       int getSum(int x){       //  求出状态x中安装了多少门大炮，x的二进制有几个1。
           int num = 0;
           while(x > 0){
               if(x & 1) num ++;
               x >>= 1;
           }
           return num;
        }

    *：然后就是DP部分了，明确好状态转移方程。先特殊处理第1行，然后按状态转移方程求出剩下的值。

 

经典问题：TSP

    一个n个点的带权的有向图，求一条路径，使得这条路经过每个点恰好一次，并且路径上边的权值和最小（或者最大）。或者求一条具有这样性质的回路，这是经典的TSP问题。
    n <= 16 (重要条件,状态压缩的标志)

    如何表示一个点集：

由于只有16个点，所以我们用一个整数表示一个点集：
例如：
    5 ＝ 0000000000000101；（2进制表示）
    它的第0位和第2位是1，就表示这个点集里有2个点，分别是点0和点2。
    31 ＝ 0000000000011111； （2进制表示）
    表示这个点集里有5个点，分别是0，1，2，4，5；
所以一个整数i就表示了一个点集；整数i可以表示一个点集，也可以表示是第i个点。

    状态表示：

dp[i][j]表示经过点集i中的点恰好一次，不经过其它的点，并且以j点为终点的路径,权值和的最小值，如果这个状态不存在，就是无穷大。
    状态转移：
    单点集：状态存在dp[i][j] = 0；否则无穷大。非单点集：
    1：状态存在  dp[i][j] = min(dp[k][s] + w[s][j])
    k表示i集合中去掉了j点的集合，s遍历集合k中的点并且dp[k][s]状态存在，点s到点j有边存在，w[s][j]表示边的权值。
    2.：状态不存在 dp[i][j]为无穷大。

    最后的结果是： min( dp[( 1<

   

    技巧：利用2进制，使得一个整数表示一个点集，这样集合的操作可以用位运算来实现。例如从集合i中去掉点j：
    k = i & (~( 1<

 

 

 

树型动态规划

    树本身就是一个递归的结构，所以在树上进行动态规划或者递推是最合适不过的事情。
    必要条件：子树之间不可以相互干扰，如果本来是相互干扰的，那么我们必须添加变量使得他们不相互干扰。

Party at Hali-Bula

    题目大意：n个人形成一个关系树，每个节点代表一个人，节点的根表示这个人的唯一的直接上司，只有根没有上司。要求选取一部分人出来，使得每2个人之间不能有直接的上下级的关系，求最多能选多少个人出来，并且求出获得最大人数的选人方案是否唯一。

    这是一个经典的树型动态规划，人之间的关系形成树型结构，简单的染色统计是不正确的
    DP部分：用dp[i][0]表示不选择i点时，i点及其子树能选出的最多人数，dp[i][1]表示选择i点时，i点及其子树的最多人数。

    状态转移方程:
    对于叶子节点： dp[k][0] = 0, dp[k][1] = 1
    对于非叶子节点i： dp[i][0] = ∑max(dp[j][0], dp[j][1]) (j是i的儿子)
                      dp[i][1] = 1 + ∑dp[j][0] (j是i的儿子) 
    最多人数即为：max(dp[0][0], dp[0][1])

 

    如何判断最优解是否唯一?

    新加一个状态dup[i][j]，表示相应的dp[i][j]是否是唯一方案。
    对于叶子结点：dup[k][0] = dup[k][1] = 1.

    对于非叶子结点：

    1：i的任一儿子j，若(dp[j][0] > dp[j][1] 且 dup[j][0] == 0) 或 (dp[j][0] < dp[j][1] 且 dup[j][1] == 0) 或 (dp[j][0] == dp[j][1])，则dup[i][0] = 0

    2：i的任一儿子j有dup[j][0] = 0, 则dup[i][1] = 0

Strategic game

    题目大意：一城堡的所有的道路形成一个n个节点的树，如果在一个节点上放上一个士兵，那么和这个节点相连的边就会被看守住，问把所有边看守住最少需要放多少士兵。

    典型的树型动态规划：

    dproot[ i ]表示以i为根的子树，在i上放置一个士兵，看守住整个子树需要多少士兵。

    all[ i ]表示看守住整个以i为根的子树需要多少士兵。

    状态转移方程：
    叶子节点：dproot[k] =1； all[k] = 0；
    非叶子节点： dproot[i] = 1 + ∑all[j](j是i的儿子)；
                 all[i] = min( dproot[i], ∑dproot[j](j是i的儿子) )；

　 摘自依然博客---http://blog.sina.com.cn/acmstart

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