洛谷 P3317 [SDOI2014]重建(矩阵树定理+数学推导) [bzoj3534]

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首先,大家应该都能看出来这是矩阵树定理,然后大部分人应该就会把概率直接带进去算,然后就愉快地WA掉了(我当时就是这么想的,幸亏没交)
然后就来讲这个题的正解思路。
首先我们来看答案应该是怎样的:

ans=Tree(u,v)EP(u,v)(u,v)E(1P(u,v))
然后我们来想一下怎么来构造这个答案:首先,我们直接矩阵树用高斯算出来的结果应该是这个:
now=Tree(u,v)EP(u,v)
那我们怎么让它变成答案那个样子呢?直观地,我们可以这样:
now=now(u,v)(1P(u,v))
然后就变成了这样子:
now=Tree(u,v)EP(u,v)(1P(u,v))(u,v)E(1P(u,v))
现在我们发现now与答案有着中间那一部分的差距,那么如何消除那个差距呢?
我们可以注意到式子中的第一个 P(u,v)其实就是矩阵的初值,那么也就是这个:
now=Tree(u,v)EAu,v(1P(u,v))(u,v)E(1P(u,v))
那么我们现在就是要让:
Au,v(1P(u,v))P(u,v)
想必我说到现在大家应该就懂了吧,我们只要这样:
Au,v=P(u,v)(1P(u,v))
这样我们现在的now值就是答案了!
tmp=(u,v)(1P(u,v))
now=tmpTree(u,v)EP(u,v)(1P(u,v))

还有就是几个技巧:
当矩阵中出现 |a|<eps时就 a=eps
当矩阵中出现 |1a|<eps时就 a=1eps
自己想一想为什么。
代码如下:

/**************************************************************
    Problem: 3534
    User: stone41123
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:16 ms
    Memory:1308 kb
****************************************************************/
#include
#define ll long long
using namespace std;
int n;
double a[51][51];
double ans;
double eps=1e-8;
void gauss(){
    for(int i=1;iint mx=i;
        for(int j=i+1;jif(fabs(a[j][i])>fabs(a[mx][i]))mx=j;
        }
        if(mx!=i)for(int j=1;jfor(int k=i+1;kdouble mul=a[k][i]/a[i][i];
            for(int j=i;jif(fabs(a[i][i])0;
            return;
        }
    }
    for(int i=1;ifabs(ans);
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            scanf("%lf",&a[i][j]);
        }
    }
    ans=1;
    double tmp=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(fabs(a[i][j])if(fabs(1.0-a[i][j])1-eps;
            if(i1.0-a[i][j];
            a[i][j]=a[i][j]/(1.0-a[i][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i][i]=0;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i!=j)
            a[i][i]-=a[i][j];
        }
    }
    gauss();
    ans*=tmp;
    printf("%.10lf",ans);
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/stone41123/p/7581236.html

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