学组合数学心得与题解（一）——组合计数

今天我在某网站上稍微学习了一下组合数学，准确来讲，今天就看了看组合计数。像一些弱智的排列数、组合数大家肯定在小学奥数就已经精通了（只有我这种蒟蒻忘的精光）。当然，博主比较菜，连二项式定理、帕斯卡恒等式都不会，所以今天只能恶补一下啦。
排列数与组合数大家一定都十分的明白了，所以我在这里也不多说了。
然后二项式定理以及帕斯卡恒等式就是俩公式，自己看看就好了。
今天我做了两道题（貌似特别菜，专适我这种蒟蒻）：
1.
解析：这道题看起来十分菜，直接用二项式定理就好了，把px和qy看成一个整体就好。但是写组合数的函数时千万不要直接搞或者用递归，不然。。。就会像我一样超时n次，最好直接用帕斯卡恒等式递推预处理出每组组合数的值（不要忘了边加边取模哦）
代码：

#include 
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef double DB;

const int MOD = 1e4 + 7;

int Max(int a, int b){return a > b ? a : b;}
int Min(int a, int b){return a < b ? a : b;}

int C(int n, int r){
    //cout<
    int ans = 0;
    if(r == 0) return 1;
    else if(n == r) return 1;
    else {
        if(r > n / 2 + 1) r = n - r;
        ans = ((C(n - 1, r - 1) % MOD) + C(n - 1, r)) % MOD;
        return ans;
    }
}

int qpow(int l, int r){
    int res = 1;
    while(r){
        if(r & 1) res = res * l % MOD;
        l = l * l % MOD;
        r >>= 1;
    }
    return res;
}

int C1(int m, int k){     
    int count = 0;
    for(int i = m; i >= k; i --){
        if (k > 1) C1(i - 1, k - 1);
        else count ++;
    }
    return count;           
}

inline int read(){
    int r = 0, z = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') z = -1; ch = getchar();}
    while(ch >= '0' && ch <= '9'){r = r * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
    return r * z;
}
void fre(){
    freopen(".in", "r", stdin);
    freopen(".out", "w", stdout);
}
void init(){
    int p = read(), q = read(), k = read(), a = read(), b = read();
    int ans = ((C1(k, b) * qpow(p, a)) % MOD * qpow(q, b)) % MOD;
    int ans1 = qpow(p, a) * qpow(q, b);
    cout<int main(){
    //fre();
    init();
    return 0;
}

2.

样例输入1：

5 2
1 2 3 4 5

样例输出1：

40

解析：这道题其实也是很简单的，只要仔细一想，就能知道正解。
我们首先先把这一列数从大到小排序，然后和最大的数在一组的k个数，其辣度值就是其本身，如果这k个数中定了这个最大的数，可以在n-1个数中调出k-1个数与这个最大的数组成一组，这样的方案数是C(n−1,k−1)，总辣度值就是C(n−1,k−1)×最大的数a[1]。
我们再找到次大的数。这是我们排除最大的数，从剩下的n-2个数中调出k-1个数与这个次大的数组成一组，这时所组成的组的辣度值都是这个次大的数这样的总方案数是C(n−2,k−1)，总辣度值是C(n−2,k−1)×次大的数a[2]。
以此类推，建议中间值开个long long，要不然有可能WA掉。
代码：

#include 
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef double DB;

const int MAXN = 1e5 + 30;
const int MOD = 1e9 + 7;

int c[MAXN][61], a[MAXN];

int Max(int a, int b){return a > b ? a : b;}
int Min(int a, int b){return a < b ? a : b;}

void C(int n, int k){
    c[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        c[i][0] = 1;
        for(int j = 1; j <= Min(k, i); j ++)
            c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % MOD;
    }
}

int cmp(int x, int y){return x > y;}

inline int read(){
    int r = 0, z = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') z = -1; ch = getchar();}
    while(ch >= '0' && ch <= '9'){r = r * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
    return r * z;
}

void fre(){
    freopen(".in", "r", stdin);
    freopen(".out", "w", stdout);
}
void init(){
    int n = read(), k = read();
    LL ans = 0;
    C(n, k);
    //out<
    for(int i = 1; i <= n; i ++) a[i] = read();
    sort(a + 1, a + n + 1, cmp);
    //cout<
    for(int i = 1; i <= n - k + 1; i ++){
        ans = (ans + (LL)c[n - i][k - 1] * a[i]) % (LL)MOD;
    }
    printf("%lld\n", ans);
}
int main(){
    //fre();
    init();
    return 0;
}