Sympy符号计算（使用python求导，解方程组）

Sympy符号计算

什么是符号计算？

符号计算以符号方式处理数学对象的计算。这意味着数学对象被精确地表示，而不是近似地表示，并且具有未评估变量的数学表达式被保留为符号形式。

>>> import math
>>> math.sqrt(9)
3.0

>>> math.sqrt(8)
2.82842712475

>>> import sympy
>>> sympy.sqrt(3)
sqrt(3)

# 符号结果可以象征性地简化
>>> sympy.sqrt(8)
2*sqrt(2)

>>> from sympy import *
>>> x = symbols('x')
>>> a = Integral(cos(x)*exp(x), x)
>>> Eq(a, a.doit())
Eq(Integral(exp(x)*cos(x), x), exp(x)*sin(x)/2 + exp(x)*cos(x)/2)

运行结果：
$$\int e^x\cos (x)dx=\frac{e^x\sin (x)}{2}+\frac{e^x\cos (x)}{2}$$

在使用前在SymPy变量必须定义

通常，最好的做法是将Symbols分配给同名的Python变量，尽管有例外：符号名称可以包含Python变量名称中不允许的字符，或者可能只是想通过赋值长的符号来避免键入长名称名称为单字母Python变量。

>>> from __future__ import division
>>> from sympy import *
>>> x, y, z, t = symbols('x y z t')
>>> k, m, n = symbols('k m n', integer=True)
>>> f, g, h = symbols('f g h', cls=Function) # 定义函数符号变量


>>> from sympy import symbols
>>> x, y = symbols('x y')  # 定义变量
>>> expr = x + 2*y
>>> expr
x + 2*y
>>> expr + 1
x + 2*y + 1
>>> expr - x
2*y
>>> x*expr
x*(x + 2*y)

# 符号形式转换
>>> from sympy import expand, factor
>>> expanded_expr = expand(x*expr)
>>> expanded_expr
x**2 + 2*x*y
>>> factor(expanded_expr)
x*(x + 2*y)

import math
from sympy import *
init_printing()

math.sqrt(2)

$1.4142135623730951$

sqrt(2)

$\sqrt{2}$

pi

$\pi$

x,y,z,a,b,c,n,r = symbols('x,y,z,a,b,c,n,r')
alpha,beta,gamma,theta = symbols('alpha,beta,gamma,theta')

log(alpha**beta)+gamma

$\gamma +\log \left({\alpha }^{\beta }\right)$

sin(x)**2+cos(y)**2

${\sin }^2\left(x\right)+{\cos }^2\left(y\right)$

mu,sigma = symbols('mu,sigma')
mu,sigma

$\left(\mu ,\sigma \right)$

b = exp(-(x-mu)**2/(2*sigma)**2)
b

$e^{-\frac{{\left(-\mu +x\right)}^2}{4{\sigma }^2}}$

求导

(x**2).diff()

$2x$

sin(x).diff()

$\cos \left(x\right)$

(x**2+x*y+y**2).diff(x)

$2x+y$

diff(x**2+x*y+y**2,y)

$x+2y$

diff(x**3+x**2+2*x+x*y+y**2,x,2)

$2\left(3x+1\right)$

(x**3+x**2+2*x+x*y+y**2).diff(x,2)

$2\left(3x+1\right)$

(x**3+x**2+2*x+x*y+y**2).diff(x,2).expand() # expand()展开式子

$6x+2$

b

$e^{-\frac{{\left(-\mu +x\right)}^2}{4{\sigma }^2}}$

b.diff(x)

$-\frac{\left(-2\mu +2x\right)e^{-\frac{{\left(-\mu +x\right)}^2}{4{\sigma }^2}}}{4{\sigma }^2}$

b.diff(x,2)

$\frac{\left(-2+\frac{{\left(\mu -x\right)}^2}{{\sigma }^2}\right)e^{-\frac{{\left(\mu -x\right)}^2}{4{\sigma }^2}}}{4{\sigma }^2}$

b.diff(x).diff(x)

$-\frac{e^{-\frac{{\left(-\mu +x\right)}^2}{4{\sigma }^2}}}{2{\sigma }^2}+\frac{{\left(-2\mu +2x\right)}^2{e}^{-\frac{{\left(-\mu +x\right)}^2}{4{\sigma }^2}}}{16{\sigma }^4}$

b.diff(x,2).expand()     # 二阶导

$\frac{{\mu }^2{e}^{-\frac{{\mu }^2}{4{\sigma }^2}}{e}^{-\frac{x^2}{4{\sigma }^2}}{e}^{\frac{\mu x}{2{\sigma }^2}}}{4{\sigma }^4}-\frac{\mu x{e}^{-\frac{{\mu }^2}{4{\sigma }^2}}{e}^{-\frac{x^2}{4{\sigma }^2}}{e}^{\frac{\mu x}{2{\sigma }^2}}}{2{\sigma }^4}-\frac{e^{-\frac{{\mu }^2}{4{\sigma }^2}}{e}^{-\frac{x^2}{4{\sigma }^2}}{e}^{\frac{\mu x}{2{\sigma }^2}}}{2{\sigma }^2}+\frac{x^2{e}^{-\frac{{\mu }^2}{4{\sigma }^2}}{e}^{-\frac{x^2}{4{\sigma }^2}}{e}^{\frac{\mu x}{2{\sigma }^2}}}{4{\sigma }^4}$

方程

expr = sin(x)**2+cos(x)**2
expr

${\sin }^2\left(x\right)+{\cos }^2\left(x\right)$

simplify(expr)   # 简化式子

$1$

simplify(b.diff(x).diff(x).diff(x))

$\frac{\left(6{\sigma }^2\left(-\mu +x\right)+{\left(\mu -x\right)}^3\right)e^{-\frac{{\left(\mu -x\right)}^2}{4{\sigma }^2}}}{8{\sigma }^6}$

求解方程

solveset(x**2-4,x)

$\left\{-2,2\right\}$

solveset(sin(x),x)

$\left\{2n\pi |n\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{2n\pi +\pi |n\in \mathbb{Z}\right\}$

solveset((x-1)*(exp(x)+cos(x)+1),x,domain = S.Reals)

$\left\{1\right\}\cup \left\{x\mid x\in \mathbb{R}\wedge e^x+\cos \left(x\right)+1=0\right\}$

替换 Substitution

(x**2+2*x+1).subs({x:sin(x)})

${\sin }^2\left(x\right)+2\sin \left(x\right)+1$

(sin(x)**2+sin(x)-1+cos(x)+cos(x)**3).subs({(sin(x)**2+sin(x)):y})

$y+{\cos }^3\left(x\right)+\cos \left(x\right)-1$

(x**2+2*x+1).subs(x,sin(x))

${\sin }^2\left(x\right)+2\sin \left(x\right)+1$

Plotting

%matplotlib inline

plot(x**2,(x,-100,100))

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-xi9CxAGs-1582095533708)(output_36_0.png)]

textplot(x**2,-3,3)

      9 | \                                                     /
        |  \                                                   / 
        |   .                                                 .  
        |                                                        
        |    .                                               .   
        |     \                                             /    
        |      \                                           /     
        |       \                                         /      
4.76471 | -------\---------------------------------------/-------
        |         ..                                   ..        
        |           \                                 /          
        |            \                               /           
        |             ..                           ..            
        |               \                         /              
        |                ..                     ..               
        |                  ..                 ..                 
        |                    ....         ....                   
      0 |                        .........                       
          -3                         0                          3

不变性

a = x+y+1
a

$x+y+1$

x =3
a     # 不发生改变

$x+y+1$

a.subs({x:3})

$x+y+1$

x = symbols('x')
a.subs({x:3})

$y+4$

等式

eq = Eq(x**2,y)
eq

$x^2=y$

eq.lhs

$x^2$

eq.rhs

$y$

solveset(eq,x)

$\left\{-\sqrt{y},\sqrt{y}\right\}$

分式

from __future__ import division
1/2

$0.5$

acos(1/2)

$1.0471975511966$

Rational(1,2)

$\frac{1}{2}$

acos(Rational(1,2))

$\frac{\pi }{3}$

from fractions import Fraction
Fraction(1,2)

Fraction(1, 2)

acos(Fraction(1,2))

$\frac{\pi }{3}$

S(1)/2

$\frac{1}{2}$

type(S(1))

sympy.core.numbers.One

积分

integrate(x**2,x)+1

$\frac{x^3}{3}+1$

integrate(x**2,(x,0,3))

$9$

integrate(x**n,(x,y,z))

$\{\begin{array}{ll}-\frac{y^{n+1}}{n+1}+\frac{z^{n+1}}{n+1}& \text{for}n>-\infty \wedge n<\infty \wedge n\ne -1\\ -\log \left(y\right)+\log \left(z\right)& \text{otherwise}\end{array}$

Integral(x**n,y)

$\int x^{n}dy$

Integral(x**n,y,z)

$\iint x^{n}dydz$

矩阵

rot = Matrix([[r*cos(theta),-r*sin(theta)],[r*sin(theta),r*cos(theta)]])
rot

$\left[\begin{array}{cc}r\cos \left(\theta \right)& -r\sin \left(\theta \right)\\ r\sin \left(\theta \right)& r\cos \left(\theta \right)\end{array}\right]$

rot.det()

$r^2{\sin }^2\left(\theta \right)+r^2{\cos }^2\left(\theta \right)$

rot.inv()

$\left[\begin{array}{cc}\frac{r\cos \left(\theta \right)}{r^2{\sin }^2\left(\theta \right)+r^2{\cos }^2\left(\theta \right)}& \frac{r\sin \left(\theta \right)}{r^2{\sin }^2\left(\theta \right)+r^2{\cos }^2\left(\theta \right)}\\ -\frac{r\sin \left(\theta \right)}{r^2{\sin }^2\left(\theta \right)+r^2{\cos }^2\left(\theta \right)}& \frac{r\cos \left(\theta \right)}{r^2{\sin }^2\left(\theta \right)+r^2{\cos }^2\left(\theta \right)}\end{array}\right]$

rot.singular_values()

$\left[\sqrt{r\sqrt{{\cos }^2\left(\theta -\overline{\theta }\right)-1}\overline{r}+r\cos \left(\theta -\overline{\theta }\right)\overline{r}},\sqrt{-r\sqrt{{\cos }^2\left(\theta -\overline{\theta }\right)-1}\overline{r}+r\cos \left(\theta -\overline{\theta }\right)\overline{r}}\right]$

表达式数值计算

f = lambdify(x,x**2)
f(2)

$4$

陷阱

Python中不允许隐式乘法3x，因此在SymPy中不允许。必须使用3*x才可以。

改变x=2没有影响expr。这是因为 将Python变量更改，但对SymPy符号没有影响

>>> x = symbols('x')
>>> expr = x + 1
>>> x = 2
>>> print(expr)
x + 1

要更改表达式中符号的值，请使用==subs()==进行替换

>>> x = symbols('x')
>>> expr = x + 1
>>> expr.subs(x, 2)
3
>>> expr = cos(x) + 1
>>> expr.subs(x, y)
cos(y) + 1

替换通常是出于以下两个原因之一：

• 我们知道一个符号表达式，然后想知道它在某一点处的值，就将符号替换为值。例如，计算cos(x)+1在x=0的时候的值cos(0)+1,就要用subs(x,0)将替换为0

• 用另一个子表达式替换子表达式。

  第一个是如果我们试图构建一个具有一些对称性的表达式

>>> expr = x**y
>>> expr
x**y
>>> expr = expr.subs(y, x**y)
>>> expr
x**(x**y)
>>> expr = expr.subs(y, x**x)
>>> expr
x**(x**(x**x))

​ 第二个是如果我们想要执行非常有控制的简化，或者可能是SymPy无法做到的简化。

>>> expr = sin(2*x) + cos(2*x)
>>> expand_trig(expr)
2*sin(x)*cos(x) + 2*cos(x)**2 - 1
>>> expr.subs(sin(2*x), 2*sin(x)*cos(x))
2*sin(x)*cos(x) + cos(2*x)

subs有两个重要的事项需要注意:

• 首先，它返回一个新表达式。SymPy对象是不可变的。

>>> expr = cos(x)
>>> expr.subs(x, 0)
1
>>> expr
cos(x)
>>> x
x

• 将它与列表理解相结合通常可以同时执行大量类似的替换。

>>> expr = x**3 + 4*x*y - z
>>> expr.subs([(x, 2), (y, 4), (z, 0)])
40

>>> expr = x**4 - 4*x**3 + 4*x**2 - 2*x + 3
>>> replacements = [(x**i, y**i) for i in range(5) if i % 2 == 0]
>>> expr.subs(replacements)
-4*x**3 - 2*x + y**4 + 4*y**2 + 3

等号

=它不代表SymPy中的相等性。相反，它是Python变量赋值。

==用于判断两个式子是否相等，返回逻辑运算符

>>> x + 1 == 4
False

还有一种方法称为equals测试两个表达式是否相等

>>> a = cos(x)**2 - sin(x)**2
>>> b = cos(2*x)
>>> a.equals(b)
True

建立符号相等可以使用Eq

>>> Eq(x + 1, 4)
Eq(x + 1, 4)

使用simplify()函数简化

>>> from sympy import *
>>> x, y, z = symbols('x y z')
>>> init_printing(use_unicode=True)

>>> simplify(sin(x)**2 + cos(x)**2)
1
>>> simplify((x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1))
x - 1
>>> simplify(gamma(x)/gamma(x - 2)) # gamma(x)是Γ(x)，伽玛函数。
(x - 2)⋅(x - 1)

>>> a = (x + 1)**2
>>> b = x**2 + 2*x + 1
>>> simplify(a - b)
0
>>> c = x**2 - 2*x + 1
>>> simplify(a - c)
4*x

>>> Rational(1, 2)
1/2

>>> simplify(x**2 + 2*x + 1)
?2+2?+1
>>>factor(x**2 + 2*x + 1)
(?+1)2

多项式/有理函数简化

expand()

给定多项式，expand()将其置于单项式和的规范形式中。

>>> expand((x + 1)**2)
 2
x  + 2⋅x + 1
>>> expand((x + 2)*(x - 3))
 2
x  - x - 6
>>> expand((x + 1)*(x - 2) - (x - 1)*x)
-2

factor()

factor()采用多项式并将其分解为有理数上的不可约因子。

>>> factor(x**3 - x**2 + x - 1)
       2 
(x - 1) ⋅(x + 1)
>>> factor(x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z)
           2
z⋅(x + 2⋅y)

将字符串转换为SymPy表达式

sympify函数（sympify不要混淆 simplify）可用于将字符串转换为SymPy表达式。

>>> str_expr = "x**2 + 3*x - 1/2"
>>> expr = sympify(str_expr)
>>> expr
x**2 + 3*x - 1/2
>>> expr.subs(x, 2)
19/2

要将数值表达式计算为浮点数，请使用 evalf

>>> expr = sqrt(8)
>>> expr.evalf()
2.82842712474619
>>> pi.evalf(100)
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068

>>> expr = cos(2*x)
>>> expr.evalf(subs={x: 2.4})
0.0874989834394464

>>> one = cos(1)**2 + sin(1)**2
>>> (one - 1).evalf()
-0.e-124
>>> (one - 1).evalf(chop=True)  # chop=True 舍去误差
0

lambdify

将SymPy表达式转换为可以进行数值计算的表达式

>>> import numpy # doctest:+SKIP
>>> a = numpy.arange(10) # doctest:+SKIP
>>> expr = sin(x)
>>> f = lambdify(x, expr, "numpy") # doctest:+SKIP
>>> f(a) # doctest:+SKIP
[ 0.          0.84147098  0.90929743  0.14112001 -0.7568025  -0.95892427
 -0.2794155   0.6569866   0.98935825  0.41211849]

>>> f = lambdify(x, expr, "math")
>>> f(0.1)
0.0998334166468

# 要将lambdify与其自定义数值库一起使用，请传递对的字典sympy_name:numerical_function
>>> def mysin(x):
    	"""
     	My sine. Note that this is only accurate for small x.
    	"""
	     return x
>>> f = lambdify(x, expr, {"sin":mysin})
>>> f(0.1)
0.1

数学公式的2D漂亮打印输出，或LATEX

>>> from sympy import init_printing
>>> init_printing() # doctest: +SKIP
>>> init_printing（use_unicode = True）

There are several printers available in SymPy.

The most common ones are：

• str
• srepr
• ASCII pretty printer
• Unicode pretty printer
• LaTeX
• MathML
• Dot

微积分

求导

>>> from sympy import *
>>> x, y, z = symbols('x y z')
>>> init_printing(use_unicode=True)

>>> diff(cos(x), x)
−sin(?)
>>> diff(exp(x**2), x)

# 求三阶导数
>>> diff(x**4, x, x, x)
24⋅x
>>> diff(x**4, x, 3)
24⋅x

# 同时获取多个变量的导数
>>> expr = exp(x*y*z)
>>> diff(expr,x,y,y,z,z,z,z)
>>> diff(expr,x,y,2,z,4)
>>> expr.diff(x, y, y, z, 4) # 以上三种结果都是一样的

# 要创建未计算的导数，请使用Derivative类。它具有diff相同的语法。
>>> deriv = Derivative(expr, x, y, y, z, 4)
>>> deriv
>>> deriv.doit() #将未计算的导数计算

# 对x求n次导
>>> m, n, a, b = symbols('m n a b')
>>> expr = (a*x + b)**m
>>> expr.diff((x, n))

积分

# 不定积分
>>> integrate(cos(x), x) 
sin(x)

# 要计算定积分，请传递参数(integration_variable, lower_limit, upper_limit)
>>> integrate(exp(-x), (x, 0, oo)) # 其中∞是由两个小写字母oo组成
1

# 计算多重积分
>>> integrate(exp(-x**2 - y**2), (x, -oo, oo), (y, -oo, oo))
π

# 如果integrate无法计算积分，则返回未评估的 Integral对象。
>>> expr = integrate(x**x, x)
>>> print(expr)
Integral(x**x, x)
>>> expr
⌠
⎮  x
⎮ x  dx
⌡

>>> expr = Integral(log(x)**2, x) # 创建未计算的积分形式
>>> expr.doit() # 计算未计算的积分
         2
x⋅log (x) - 2⋅x⋅log(x) + 2⋅x

>>> integ = Integral((x**4 + x**2*exp(x) - x**2 - 2*x*exp(x) - 2*x -
  exp(x))*exp(x)/((x - 1)**2*(x + 1)**2*(exp(x) + 1)), x)

极限

>>> limit(sin(x)/x, x, 0)
1

>>> expr = x**2/exp(x)
>>> expr.subs(x, oo)
nan
>>> limit(expr, x, oo)
0

>>> expr = Limit((cos(x) - 1)/x, x, 0) # 极限未计算形式
>>> expr.doit() # 计算极限

>>> limit(1/x, x, 0, '+') # x趋向于0+
∞
>>> limit(1/x, x, 0, '-') # x趋向于0-
-∞

求解方程

关于方程的一个注释

>>> from sympy import *
>>> x, y, z = symbols('x y z')
>>> init_printing(use_unicode=True)

>>> Eq(x, y)
x = y

>>> solveset(Eq(x**2, 1), x)
{-1, 1}
>>> solveset(Eq(x**2 - 1, 0), x)
{-1, 1}
>>> solveset(x**2 - 1, x)
{-1, 1}
# 如果您要求解的等式已经等于0,可以直接使用solveset(expr, x)
# 而不是solveset(Eq(expr, 0), x)

以代数方式求解方程式

求解代数方程的主要函数是solveset(equation, variable=None, domain=S.Complexes)

还有一个求解函数solve(equations,variables)
求解方程组就用solve([EQ1,EQ2],[r1,r2])

推荐使用solveset(equation, variable=None, domain=S.Complexes)

>>> solveset(x**2 - x, x)
{0, 1}
>>> solveset(x - x, x, domain=S.Reals)
ℝ
>>> solveset(sin(x) - 1, x, domain=S.Reals)
⎧        π        ⎫
⎨2⋅n⋅π + ─ | n ∊ ℤ⎬
⎩        2        ⎭

>>> solveset(exp(x), x)     # No solution exists
∅
>>> solveset(cos(x) - x, x)  # Not able to find solution
{x | x ∊ ℂ ∧ -x + cos(x) = 0}

求解线性方程组

• 方程列表形式：

>>> linsolve([x + y + z - 1, x + y + 2*z - 3 ], (x, y, z))
{(-y - 1, y, 2)}

• 增强矩阵形式：

>>> linsolve(Matrix(([1, 1, 1, 1], [1, 1, 2, 3])), (x, y, z))
{(-y - 1, y, 2)}

• A * x = b表格

>>> M = Matrix(((1, 1, 1, 1), (1, 1, 2, 3)))
>>> system = A, b = M[:, :-1], M[:, -1]
>>> linsolve(system, x, y, z)
{(-y - 1, y, 2)}

求解非线性方程组：

• 当只有实数解时

>>> a, b, c, d = symbols('a, b, c, d', real=True)
>>> nonlinsolve([a**2 + a, a - b], [a, b])
{(-1, -1), (0, 0)}
>>> nonlinsolve([x*y - 1, x - 2], x, y)
{(2, 1/2)}

• 当只有复数解时

>>> nonlinsolve([x**2 + 1, y**2 + 1], [x, y])
{(-ⅈ, -ⅈ), (-ⅈ, ⅈ), (ⅈ, -ⅈ), (ⅈ, ⅈ)}

• 既有实数解又有复数解时

>>> from sympy import sqrt
>>> system = [x**2 - 2*y**2 -2, x*y - 2]
>>> vars = [x, y]
>>> nonlinsolve(system, vars)
{(-2, -1), (2, 1), (-√2⋅ⅈ, √2⋅ⅈ), (√2⋅ⅈ, -√2⋅ⅈ)}

• 如果非线性方程组是正维系统（具有无限多个解的系统被认为是正维的）：

>>> nonlinsolve([x*y, x*y - x], [x, y])
{(0, y)}

>>> system = [a**2 + a*c, a - b]
>>> nonlinsolve(system, [a, b])
{(0, 0), (-c, -c)}

求解微分方程

要求解微分方程，请使用dsolve。通过传递cls=Function给symbols函数创建一个未定义的函数。

>>> f, g = symbols('f g', cls=Function)
>>> f(x)
f(x)

>>> f(x).diff(x)
d
──(f(x))
dx

# 表示微分方程 f′′(x)−2f′(x)+f(x)=sin(x)f″(x)−2f′(x)+f(x)=sin⁡(x)
>>> diffeq = Eq(f(x).diff(x, x) - 2*f(x).diff(x) + f(x), sin(x))
>>> diffeq
                      2
         d           d
f(x) - 2⋅──(f(x)) + ───(f(x)) = sin(x)
         dx           2
                    dx
        
>>> dsolve(diffeq, f(x))
                    x   cos(x)
f(x) = (C₁ + C₂⋅x)⋅ℯ  + ──────
                          2
    
    
>>> dsolve(f(x).diff(x)*(1 - sin(f(x))) - 1, f(x))
-x + f(x) + cos(f(x)) = C₁