图论（3）子图，图运算，路与连通性

目录

一、子图相关概念

1.子图概念

2.点导出子图与边导出子图

点导出子图

边导出子图

3.图的生成子图

二、图运算

1.图的删点、删边运算

删点运算

删边运算

2.图的并运算

3.图的交运算

4.图的差运算

5.图的对称差运算或环和运算

6.图的联运算

7.图的积图

8.图的合成图

三、路与连通性

1.路与圈的相关概念

图中的途径

图中的迹

图中的路

2.连通性

图中两顶点的距离

两顶点的连通性

连通图与连通分支

图的直径

3.连通性性质

定理1 ：若图G不连通，则其补图连通

4.偶图判定定理

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一、子图相关概念

1.子图概念

         

         简而言之，只要是把一个图的非空部分提取出来，都是该图的子图。

2.点导出子图与边导出子图

点导出子图

          

       注意：只有两个端点都在定义的点集中的边才会被导出来。

边导出子图

          

3.图的生成子图

          

        注意：生成子图与原子图顶点数相同，这一点与导出子图略有差异哦

                   还需要注意，如例子中在求生成子图时，各个顶点已有编号，所以我们是不考虑同构的概念的。

    定理：简单图G=（n,m）的生成子图的个数为.

         证明：

             

二、图运算

1.图的删点、删边运算

删点运算

              

              

删边运算

              

              

              删点之后，点和边数目都会变少，而删边之后，点的数目是不会变得！

2.图的并运算

              

              

3.图的交运算

              

4.图的差运算

              

              注意：差运算不改变被减图的点数！

5.图的对称差运算或环和运算

              

              注意：图的对称差运算用三角形符号表示，对称差等于并减交！

6.图的联运算

              

              注意：图的联运算用V表示，是两个不相交的图之间的运算，上边定义中+表示直接并，是把两个不相交的图画到一张图里边

7.图的积图

              

              注意：原图中点集都是1维的，积图中点集是二维的，相当于把两个集合的点集做成x轴和y轴，即这里的积是笛卡尔乘积，然后如果第一维元素相等，第二维元素邻接，或，第二维元素相等，第一维元素邻接，则把两个二维的点连起来。

              积图中点的度数等于原图中对应两个点的度数之和

8.图的合成图

              

              注意：合成图相比于积图来说是把条件放松了，所以连线会更多，第一维的点相等，第二维的点邻接，这个条件是一样的，然后第一维的点只要邻接，也直接相连。合成图的符号是中括号。

三、路与连通性

1.路与圈的相关概念

图中的途径

              

图中的迹

              边不重复的途径称为图的一条迹

图中的路

              顶点不重复的途径称为图的一条路

              注意：顶点不重复边肯定也不重复，所以路一定也是迹。起点与终点重合是路的一种特殊情况，称为圈。

              

2.连通性

图中两顶点的距离

              

两顶点的连通性

              

连通图与连通分支

              

图的直径

             

             连通图的直径是两顶点间的最大距离，非连通图直径为无穷大。

3.连通性性质

定理1 ：若图G不连通，则其补图连通

              

              注意反之不一定成立哦，如果一个图连通，并不能推出其补图不连通。

4.偶图判定定理

              一个图是偶图当且仅当它不包含奇圈

例题

              

              证明：

              只需要证明在连通图中该结论成立即可，非连通图可以看成若干个连通分支组成

              设v1v2......vk-1vk是连通图G中的一条最长路

              则vk不存在v1v2......vk-1vk之外的邻接点，否则将产生更长路

              又因为vk的度大于等于2

              则v1v2......vk-1vk中一定存在vk的邻接点

              所以图G一定包含圈

              

              证明：

               

              

               证明：

               （1）

               

               （2）

               

               

                证明：

                

                

                证明：