【动态规划】最小编辑距离

前言

刚刚开始不太能理解动态规划,现在我感觉,动态规划就是

  • 理解题意
  • 根据题意给出初始值
  • 根据关系式利用初始值开始递推

题目

给定两个字符串A和B,求字符串A至少经过多少步字符操作变成字符串B。

思考

因为是用动态规划解决问题,按照动态规划的尿性

  1. 我们先思考一下第一个字符串的情况
    我们假设A的长度为lenA,B的长度为lenB
    那么A和B的编辑距离为
    • 当A的第一个字符和B的第一个字符相等
      则我们只需要考虑[2,lenA]和[2,lenB]的最短编辑距离
    • 当A的第一个字符和B的第一个字符不相等(这里为了方便举例:我们假设A为aab,B为bacsd)
      当A和B的第一个字符串不相等的时候,我们可以通过三种操作来使A和B的编辑距离相等
      • 替换:我们可以把A的第一个字符串修改成B的第一个字符串,此时A变为bab,B变为bacsd,因为A和B的第一个字符串相等了,所以我们只需要计算[2,lenA]和[2,lenB]的最短编辑距离
      • 删除:我们可以把A的第一个字符串删除,此时A变为ab,B还为bacsd,这样我们就只需要计算[2,lenA]和[1,lenB]的最短编辑距离了
      • 添加:我们可以把B的第一个字符串添加到A字符串的前面(0的位置),此时A变为bab,B还为bacsd,由于在此刻A和B的第一个字符串相等,因此我们在计算最短编辑距离的时候,可以将他们一起删除,这样我们就只需要计算A[1,lenA]和B[2,lenB]的最短编辑距离了。
  2. 我们接下来思考一下A字符串的第i个字符和B字符串的第j个字符串的情况
    此时我们不需要考虑A字符串的[1,i-1]和B字符串的[1,j-1]因为在动态规划中他们已经被计算好了。
  • 当A字符串的第i个字符串和B的第j个字符串相等
    那么他的最短编辑距离就等于A[1,i-1]和B[1,j-1]的最短编辑距离
  • 当A字符串的第i个字符和B的第j个字符串不相等
    那么它的最短编辑距离就等于
    • 替换:我们可以把A字符串的第i个字符替换成B字符串的第j个字符,这样最短编辑距离就等于A[1,i-1]和B[1,j-1]的最短编辑距离加一(加一是因为进行了一次操作)
    • 删除:我们可以把A字符串的第i个字符串删除,这样最短编辑距离就等于A[1,i-1]和B[1,j]的最短编辑距离加一
    • 增加:我们可以把B字符串的第j个字符串添加到A字符串的背后,然后把它们一起划去,这样最短编辑距离就等于A[1,i]和B[1,j-1]的最短编辑距离

以上就是关于最短编辑距离的思路。
在以下函数中,我们用edit数组记录最短编辑距离,edit[i][j]表示A字符串的第i个字符和B字符串的第j个字符的最短编辑距离

代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include 
#include 
#include 
#define M 100
#define N 100
void min(char* s1, char* s2){
	int m = strlen(s1);
	int n = strlen(s2);
	int edit[M][N];
	for (int i = 0; i <= m; i++)
	{
		edit[i][0] = i;
	}
	for (int j = 0; j <= n; j++)
	{
		edit[0][j] = j;
	}
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			if (s1[i-1] == s2[j-1]) {
				edit[i][j] = edit[i - 1][j - 1];
			}else {
				(edit[i - 1][j] < edit[i][j - 1]) ? edit[i][j] = edit[i - 1][j] + 1 : edit[i][j] = edit[i][j - 1] + 1;
			}
		}
	}
	for (int i = 0;i <= m;i++) {
		for (int j = 0;j <= n;j++) {
			printf("%d", edit[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
}
int main(void) {
	char s1[M] ;
	char s2[N] ;
	scanf("%s %s", s1, s2);
	min(s1, s2);
	return 0;
}

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