高等数学张宇18讲 第十二讲 常微分方程

例题十二

例12.8  求$y\mathrm{d}x=(1+x\ln y)x\mathrm{d}y(y>0)$的通解。

解  方程变形为$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}-\frac{1}{y}x=\frac{\ln y}{y}{x}^2$，这是以$y$为自变量，$x$为未知函数的伯努利方程。
  两边同时除以$x^2$，并令$z=x^{-1}$，有$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}=-\frac{1}{x^2}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}$，于是方程化为$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}+\frac{1}{y}z=-\frac{\ln y}{y}$；应用一阶线性微分方程的通解公式，得
$$z=\frac{1}{x}=e^{-\ln y}\left[\int \left(-\frac{\ln y}{y}{e}^{\ln y}\right)\mathrm{d}y+C\right]=\frac{1}{y}[y(1-\ln y)+C].$$
  故通解为$\frac{1}{x}=1-\ln y+\frac{C}{y}(y>0,C\text{为任意常数})$。（这道题主要利用了伯努利方程求解）

新版例题十五

例15.9

例15.14

例15.19

例15.20

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