动态规划算法应用之 切割木棍问题

切割木棍问题

给定一根长度为 n 英尺的木棍和一个价值数组 value[]，数组中的第 i 个元素值 v 代表木棍长长度为 i 时，其价值为 v。现在要求将木棍切割成若干段，使得切割后所有木棍的价值总和最大。例如给定长度为 8 的木棍，对于下图的价值数组，当把它切割成两段长度为 2 和 6 的木棍时，两木棍的价值总和最大，为 22。

而对于同样的长度 8，如果价值数组如下，那么切割成 8 段长度为 1 的木棍时取得最大价值 24=3*8。

分析：先考虑只切割一次的情况，因为切割的位置只有 n 个（包括位置 0，即不切割），在每次切割后会得到两根木棍，它们的价值是确定的，所以可以比较出在 n 个切割位置中，哪个位置的切割得到的价值最大。切割得到的两木棍又可以这样递归的切割，每次选择取得最大价值的位置来切，最后就找到最大价值。所以有如下的切割递归公式

cutRod(n) = max(price[i] + cutRod(n-i-1)) for all i in {0, 1 .. n-1}

要注意在递归计算的过程中，会有很多重叠的子问题，为避免重复计算，我们可用一个维表存储各子问题的解。即我们用了 dp 算法。

如果不用 dp，直接暴力求解上面的递归式，则程序如下

C语言实现

#include
#include
 
// A utility function to get the maximum of two integers
i