欠阻尼谐振腔模型状态转移矩阵计算

欠阻尼谐振腔模型状态转移矩阵计算

如图所示，具有定基座的线性阻尼理想谐振腔。物体质量为$m$，位移$\delta$，$k_s$为弹簧常数，$k_d$为阻力系数。

1. 根据牛顿第二定律，可得：
   $$F(t)=ma(t)=m[\frac{d^2\delta (t)}{d{t}^2}]=-ks\delta (t)-k_d\frac{d\delta (t)}{dt}$$
2. 写为微分方程形式：
   $$m[\frac{d^2\delta (t)}{d{t}^2}]+k_d\frac{d\delta (t)}{dt}+ks\delta (t)=0$$
3. 列出状态空间模型：
   令$x_1=\delta$，$x_2=\dot{\delta }$，则：
   $$\begin{gathered} \frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right]=F\left[\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right] \\ 令x=\left[\begin{array}{c}\delta \\ \dot{\delta }\end{array}\right],则\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}\delta \\ \dot{\delta }\end{array}\right]=Fx \\ 即\dot{x}=Fx \\ F=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -\frac{k_s}{m}& -\frac{k_d}{m}\end{array}\right],(F为动态系数矩阵) \end{gathered}$$
4. 求$F$的特征值：
   $$det(\lambda I-F)={\lambda }^2+\frac{k_d}{m}\lambda +\frac{k_s}{m}$$
   已知一元二次方程的解为：
   $$\begin{gathered} {\lambda }_1=\frac{1}{2}(-\frac{k_d}{m}+\sqrt{\frac{k_d^2}{m^2}-\frac{4k_s}{m}}) \\ {\lambda }_2=\frac{1}{2}(-\frac{k_d}{m}-\sqrt{\frac{k_d^2}{m^2}-\frac{4k_s}{m}}) \end{gathered}$$

因为欠阻尼，所以$\frac{k_d^2}{m^2}-\frac{4k_s}{m}<0$

那么，特征方程的根是一对共轭复根${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm wi$，则微分方程的通解为：
$$\begin{gathered} y=e^{\alpha t}(acoswt+bsinwt),且 \\ {\lambda }_{1,2}=-\frac{k_d}{2m}\pm \sqrt{\frac{k_s}{m}-\frac{k_d^2}{4m^2}}\times i \end{gathered}$$
令$\tau =\frac{2m}{k_d},w=\sqrt{\frac{k_s}{m}-\frac{k_d^2}{4m^2}}$则：
$$\delta (t)=a{e}^{-t/\tau }cos(wt)+b{e}^{-t/\tau }sin(wt)$$
这个解可以用实数变量$a,b$表示为下列状态空间形式：
$$\left[\begin{array}{c}\delta \\ \dot{\delta }\end{array}\right]=e^{-t/\tau }\left[\begin{array}{cc}coswt& sinwt\\ -\frac{coswt}{\tau }-wsinwt& wcoswt-\frac{sinwt}{\tau }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]（式1）$$
当初值为0时有：
$$\delta (0)=a,\dot{\delta (0)}=-\frac{a}{\tau }+wb$$
即
$$\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ \frac{1}{w\tau }& \frac{1}{w}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\delta (0)\\ \dot{\delta (0)}\end{array}\right]（式2）$$
将（式2）带入（式1）得：
$$\left[\begin{array}{c}\delta \\ \dot{\delta }\end{array}\right]=e^{-t/\tau }\left[\begin{array}{cc}coswt& sinwt\\ -\frac{coswt}{\tau }-wsinwt& wcoswt-\frac{sinwt}{\tau }\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ \frac{1}{w\tau }& \frac{1}{w}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\delta (0)\\ \dot{\delta (0)}\end{array}\right]$$
即$x(t)=\varphi (t)x(0)$，故可求得状态转移矩阵：
$$\varphi (t)=\frac{e^{-t/\tau }}{w{\tau }^2}\left[\begin{array}{cc}\tau [w\tau coswt+sinwt]& {\tau }^{2}sinwt\\ -(1+w^2{\tau }^2)sinwt& [w{\tau }^{2}coswt-\tau sinwt]\end{array}\right]$$