算法设计与分析：第五章 回溯法 5.6_2找n个数中r个数的组合之递归解法

/*
找n个数中r个数的组合
例如：当 n=5, r=3 时 ， 所有组合为：
1 2 3
1 2 4
1 2 5
1 3 4
1 3 5
1 4 5
2 3 4
2 3 5
2 4 5
3 4 5 total=10 { 组合数 }

分析1：
每组3个数的特点:
1)互不相同；
2)前面的数小于后面的数；
将上述两条作为约束条件。
3) 当 r =3时，可用三重循环对
每组中的3个数进行 枚举 。

用递归法设计该问题：
每个组合中的数据必须从大到小排列，因为递归算法设计是要找出大规模问题域
小规模问题之间的关系

分析2：
采用回溯法，添加约束函数，来加快求解速度。
因为
a[1]    a[2]    a[3]
5		4		3
5		4		2
5		4		1
5		3		2
5		3		1
5		2		1
4		3		2
4		3		1
4		2		1
3		2		1
观察后发现:
a[1]:5~3
a[2]:4~2
a[3]:3~1
a[ri]: i1~i2
后一个元素至少比前一个元素减少1，ri + i2均为4 = r + 1 , ri + i1 = 6 = n + 1
所以a[1]尝试n+1-1~r+1-1 即n~r
a[2]尝试n-1~r-1
...
a[r]尝试n-r+1~1

ri + a[ri] >= r + 1作为约束函数
若ri+a[ri] <= r说明要回溯到元素a[ri-1]进行搜索,a[r]=1时，回溯到元素a[r-1]

算法步骤:
1 初始化a[1] = n,从最高位开始检索，下标设为1
2 回溯的起点a[1]至少为r，作为回溯的终止条件
3 如果ri(选出的r个数中的第i个) < r，即还没有搜索结束，那么 对当前摆放的数字进上行合法性判断，若合法那么检索下一位应该摆放的数字
  否则，此位上摆放的数字不正确，回溯到上一位上，并且另上一位上的数字值减一；其实就是退回到父节点，尝试下一个子节点
4 如果搜索到底部了，说明到叶节点，产生一个解，就输出；再判断最后一位上的数字是否是1，如果是1，表明需要回溯到上一层父节点的下一个子节点
  否则，说明该结点 当前位上还可以用更小的值代替，另当前位值减1

输入:
5 3
输出:
10
5 4 3
5 4 2
5 4 1
5 3 2
5 3 1
5 2 1
4 3 2
4 3 1
4 2 1
3 2 1

*/

#include 
#include 

using namespace std;

int backTrace(int r, int n , int* a)
{
	a[1] = n;
	int ri = 1;
	int iCount = 0;
	while(a[1] >= r)//回溯终止的条件
	{
		//判断是否搜索到一个完整路径
		if(ri == r)
		{
			for(int j = 1 ; j <= r ; j++)
			{
				cout << a[j] << "\t";
			}
			cout << endl;
			iCount++;
			//判断搜索到最后是否需要回溯
			if(a[r] == 1)
			{
				ri--;
				a[ri]--;
			}
			//最后一个摆放位还可以尝试比当前摆放的数字更小的数值
			else
			{
				a[ri]--;
			}
		}
		//判断是否一轮搜索结束，易错，先要判断一轮搜索是否结束
		else if(ri < r) 
		{
			//判断摆放位是否合法
			if(ri + a[ri] >= r + 1)//当前位摆放合法，摆放下一位
			{
				a[ri + 1] = a[ri] - 1;
				ri++;
			}
			else//当前位非法，需要回溯到上一位
			{
				ri--;
				a[ri]--;
			}
		}
	}
	return iCount;
}

void process()
{
	int n , r;
	int a[100];
	while (cin >> n >> r)
	{
		memset(a, 0 , sizeof(a));
		//a[0] = r;
		cout << backTrace(r , n , a) << endl;
	}
}

int main(int argc,char* argv[])
{
	process();
	getchar();
	return 0;
}