LeetCode第 518 题：零钱兑换 II(C++)

518. 零钱兑换 II - 力扣（LeetCode）

注意本题与组合数LeetCode第 377 题：组合总数 IV(C++)_zj-CSDN博客的区别，这题求的是组合数，顺序无关。

经典动态规划：完全背包问题 - labuladong的算法小抄

本题是典型的完全背包问题，将amount视为背包容量，coins数组视为物品重量数组即可。我们要求的是装法数（组合数），与顺序无关（与顺序相关的我们叫排列数）。

第一步，首先看状态和选择：状态显然有两个，一个是背包容量，一个是可选择的物品；选择就是对应该物品装/不装。

dp的典型框架：

第二步，需要明确dp数组的含义：

dp[i][j]表示只用前i件物品，能够装满容量j的装法种数（个人感这一步才是最难理解的）

第三步，寻找状态转移方程，也就是明确状态的转移逻辑。

转移逻辑就是对不同的选择进行分类讨论：

• 选择不装：也就是不使用当前硬币coins[i]，那么能够凑出面额j的方法数量dp[i][j]应该等于dp[i-1][j]，也就是继承之前的结果;
• 选择装：那么此时装入coins[i]进去之后容量刚好为j，也就是使用当前硬币coins[i]，那么dp[i][j] = dp[i][j-coins[i-1]] (i从1开始，所以这儿会-1)。
  这儿的dp[i][j-coins[i-1]]表示，只用前i(包含)个物品能够凑出容量j-coins[i-1]的种数，此时往这些情况里在加一个第i个物品，不就只使用前i个物品凑出了容量j - conis[i-1] + coins[i-1]= j了吗？

另外注意，本题求的是组合数，所以上面两种情况应该进行累加方法的数量。

第四步，翻译成代码，处理好数组初始化就可以了：

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector& coins) {
        int n = coins.size();
        //dp[i][j]表示只用前i件物品，能够装满容量j的装法种数
        vector> dp(n+1, vector(amount+1, 0));
        for(int i = 0; i <= n; ++i) dp[i][0] = 1;//容量为0的时候不装就是一种装法
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
            for(int j = 1; j <= amount; ++j){
                if(coins[i-1] <= j){//面值（重量）小于等于容量才装的下
                    //装得下的时候，可以选择不装/装
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-coins[i-1]];
                }else dp[i][j] = dp[i-1][j];//装不下的时候装法数只能等于上一个状态的
            }
        }
        return dp[n][amount];
    }
};

状态压缩：

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector& coins) {
        int n = coins.size();
        //dp[j]能够装满容量j的装法种数
        vector dp(amount+1, 0);
        dp[0] = 1;//容量为0的时候不装就是一种装法
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
            for(int j = 1; j <= amount; ++j){
                if(coins[i-1] <= j){//面值（重量）小于等于容量才装的下
                    //装得下的时候，可以选择不装/装
                    dp[j] = dp[j] + dp[j-coins[i-1]];
                }else dp[j] = dp[j];//装不下的时候装法数只能等于上一个状态的
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

优化一下：

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector& coins) {
        int n = coins.size();
        //dp[j]能够装满容量j的装法种数
        vector dp(amount+1, 0);
        dp[0] = 1;//容量为0的时候不装就是一种装法
        for(int i = 0; i < n; ++i){
            for(int j = 1; j <= amount; ++j){
                if(coins[i] <= j){//面值（重量）小于等于容量才装的下
                    //装得下的时候，可以选择不装/装
                    dp[j] = dp[j] + dp[j-coins[i]];
                }
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};