MIT_Linear_Algebra_lec12: 网络图像 关联矩阵 基尔霍夫定律

MIT_Linear_Algebra_lec12: 网络图像 关联矩阵 基尔霍夫定律

MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

---

1

4

3

2

5

1

2

4

3

这是一个网络图结构，节点+流向，可以表示复杂的关系，如电路结构，人物关系，网络结构。

关联矩阵

这种结构可以用矩阵加以表示。课中讲到的表示方法是，行代表边，列表示节点。图中有5条边，所以行数是5；有4个节点，所以列数是4.
$$A=\left[\begin{array}{cccc}-1& 1& 0& 0\\ 0& -1& 1& 0\\ -1& 0& 1& 0\\ -1& 0& 0& 1\\ 0& 0& -1& 1\end{array}\right]$$
可以看出是一个稀疏矩阵。

A的零空间

即Ax = 0中x的集合。
$$A\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& x_3& x_4\end{array}\right]$$
即
$$\left[\begin{array}{cccc}{x}_2-x_1& x_3-x_1& x_4-x_1& x_4-x_3\end{array}\right]=0$$
$x_i$ 可以看成i节点的势，两个节点之间的势之差就是电压降。

$A^T$的零空间

$A^T$表示的就是节点的情况。

$A^{T}y=0$
$$\left[\begin{array}{ccccc}-1& 0& -1& -1& 0\\ 1& -1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0& -1\\ 0& 0& 0& 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\\ y_4\\ y_5\end{array}\right]$$

节点电流的流入流出情况满足基尔霍夫定律，可以理解成一种能量守恒。

欧拉公式

• ($A^T$的零空间的维度) = A的列数 - rank($A^T$) = 5 - 3 = 2
• $A^T$的零空间的基
  $$\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& -1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 1& -1& 1\end{array}\right]$$
• 回路个数 = 边数 - （节点数 - 1）
• 个人理解：
  • 可以看到图中有两个最小环路，这代表了边的线性相关性。
    1，2，3可以得到一个环路，3，4，5可以得到一个环路。
    这里有两个解 = 回路个数，所以$A^T$零空间的维度就是2 = 回路个数。
  • 反过来说，边独立的最多三条,比如1，2，4或5。 连接4个节点不成环的最少边数 =
    rank($A^T$)=3 = (节点数 - 1)