图论（十四）——图的着色

考试要求

• 求图的边色数和点色数（结构分析法）
• 色多项式（以前考现在了解）
• 应用题：画图，问题转换

一、图的边着色

\quad 边色数：给图边上色，使得相邻边颜色不同所需要的颜色最少种数。记为${\chi }^{\prime }(G)$
\quad 对图的正常边着色，实际上是对G的边集合的一种划分，使得每个划分块是G的一个边独立集(无环时是匹配);图的边色数对应的是图的最小独立集划分数。因此，图的边着色，本质上是对应实际问题中的“划分”问题或“分类”问题。
\quad 偶图的边色数：${\chi }^{\prime }(G)=\Delta$
\quad 对于简单图G，则${\chi }^{\prime }(G)=\Delta 或者{\chi }^{\prime }(G)=\Delta +1$(维津定理)

三类简单图的边色数

• 设G是单图且Δ(G)>0。若G中只有一个最大度点或恰有两个相邻的最大度点，则：${\chi }^{\prime }(G)=\Delta$
• 设G是单图。若点数n=2k+1且边数m>kΔ,则：${\chi }^{\prime }(G)=\Delta +1$
• 设G是奇数阶Δ正则单图,若Δ>0,则：${\chi }^{\prime }(G)=\Delta +1$

二、图的顶点着色

\quad 点色数：给图顶点上色，使得相邻顶点颜色不同所需要的颜色最少种数。记为$\chi (G)$
点色数上界的几个定理：

• 对于任意的图G，有：$\chi (G)\le \Delta +1$
• 若G是连通的单图，并且它既不是奇圈，又不是完全图，则：$\chi (G)\le \Delta$(布鲁克斯定理)
• 设G是非空简单图，若G中最大度点互不邻接，则有：$\chi (G)\le \Delta$
• 定义次大度${\Delta }_2(G)$为最大度顶点u的所有相邻顶点中度数最大的那个顶点的度数值。如下图：
  
  \quad 图中G1的次大度为1，G2 的为3。定义次大度后我们可以得到简单图的点色数的改进版上界，即$\chi (G)\le {\Delta }_2(G)+1$

三、色多项式

概念：所谓色计数，就是给定标定图G和颜色数k,求出正常顶点着色的方式数。方式数用$P_k(G)$表示。由点色数$\chi (G)$和$P_k(G)$定义可得：

• 若$k<P_k(G)$则$P_k(G)=0$
• 若G为空图则$P_k(G)=K^n$
• $P_k(K_n)=k(k-1)\cdots (k-n+1)$
  运用理想子图计数法求色多项式
  定义：设H是图G的生成子图。若H的每个分支均为完全图，则称H是G的一个理想子图。用$N_r(G)$表示G的具有 r 个分支的理想子图的个数。如下图给出示例：
  
  
  现在，我们借助上述定义给出$P_k(G)$$$P_k(G)=\sum _i^n{N}_i(\overline{G})[k{]}_i,[k{]}_i=k(k-1)(k-2)\cdots (k-i+1)$$因此，求图的$P_k(G)$可以分为三步完成
• 画出G的补图$\overline{G}$
• 找出$\overline{G}$的$N_i(\overline{G})$
• 带入公式化简即可得到色多项式