二小姐对多项式以及多项式环的小小总结

多项式环

1、多项式环R[X]的本质就是多项式的系数限制在一个给定的环R中，进行的相应的加法和乘法运算；

     多项式的阶在运算时存在着相应的规律：deg(f)+deg(g)<=deg(f*g);max(deg(f),deg(g))>=deg(f+g)

                                                                 重要的是，当环为整环时，deg(f*g)=deg(f)+deg(g)

2、R与R[X]之间存在着一些互推的关系：包括交换环、单位元环和整环；

3、最最重要的是，F[X]是一个主理想环；

               插一句，主理想和循环子群原理并不一样；一个是加法的{na+ra},一个是乘法的幂次

4、若干个多项式相关的：最大公因数  最小公倍数 的定义

从而得到互素、倍数等概念；（欧几里得算法）

5、不可约多项式的定义十分重要，类似于整数环的素数，从而有了唯一的因式分解的确定；

不可约多项式f的除环F[X]/(f)（与R/(p)类似）是一个域；

不可约多项式f(x)与f(x)=0的没有根的关系：当deg(f)=2或3时，两者是充要的；

                                                                     当阶数高时，充分不必要；

6、拉格朗日插值法：给定n+1组a与f(a)的值确定f(x)

7、当然f(x)也可以是多元的，可以通过R[x1x2...xn-1][xn]的递归方式得到。f=f(x1,x2,...,xn)=,也有相应阶的概念和性质。特殊的多元多项式，（每一项阶数都相同）homogeneous polynomials；他们的和可以形成任意的多元多项式；

（1）当F是域时，唯一的因式分解相应的成立；

（2）但是F[x1,...xn]不是主理想环，而且也没有除法算法

（3）特殊的多元多项式 symmetirc polynomial；（xi之间位置变换函数值不变）

8、牛顿定理;Waring's 定理；