复变函数引论

1.1 复数与复变函数

重要公式

欧拉公式： $e^{j\theta }=cos\theta +jsin\theta$
棣摩佛公式： ${(cos\theta +jsin\theta )}^n=[cos(n\theta )+jsin(n\theta )]$

幂级数敛散性判别

1. 达朗贝尔判别法：
   设幂级数为$\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n(z-z_0{)}^n$ , 则收敛半径为$\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{c_n}{c_{n+1}}|$
2. 柯西判定法
   设幂级数为$\sum _{n=0}^{\infty }=c_n{(z-z_0)}^n$, 则收敛半价为$[\underset{n\to \infty }{\lim }$$[\sqrt[n]{|c_n|}{]}^{-1}$

1.2初等复变函数和反函数

指数函数

与实变量指数函数相类似

三角函数

cos z = $\frac{1}{2}(e^{jz}+e^{-jz})$
sin z = $\frac{1}{2j}(e^{jz}-e^{-jz})$

cosh z = $\frac{1}{2}(e^z+e^{-z})$
sinh z = $\frac{1}{2}(e^z-e^{-z})$

对数函数

• $z=Ln\omega =x+jy=ln|\omega |+jArg\omega$
• $Lnz=ln|Z|+jargz$

幂函数

$z^a=e^{aLnz}$
$P.V.z^a=e^{alnz}$

1.3复变函数的导数与解析函数

复变函数导数定义

$$f^{{}^{\prime }}(z_0)=\frac{df}{dz}{|}_{z=z_0}=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$$

柯西-黎曼方程

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$$
$$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial u}{\partial x}$$

例题

1. 讨论下列复变函数的导数并且判断是否为解析函数
   (1) $e^z$
   解：
   ① $e^z=e^{x+y}=e^{x}cosy+j{e}^{x}siny$ …………将$f(z)$表示成$u+jv$型
   ②$\frac{\partial u}{\partial x}=e^{x}cosy,\frac{\partial v}{\partial y}=e^{x}cosy$ …………CR方程判定

   ③$f^{{}^{\prime }}(x)=\frac{\partial u}{\partial x}+j\frac{\partial v}{\partial y}=sinxcoshy+jsinhycosx$