动态规划之切割钢条

假设公司出售一段长度为i英寸的钢条的价格为Pi（i = 1, 2, ...单位：美元），下面给出了价格表样例：

长度i     1     2     3  4  5  6     7  8  9  10

价格Pi  1     5     8  9  10  17   17  20  24  30

切割钢条的问题是这样的：给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表Pi，求切割方案，使得销售收益Rn最大。

当然，如果长度为n英寸的钢条价格Pn足够大，最优解可能就是完全不需要切割。

对于上述价格表样例，我们可以观察所有最优收益值Ri及对应的最优解方案：

R1 = 1，切割方案1 = 1（无切割）

R2 = 5，切割方案2 = 2（无切割）

R3 = 8， 切割方案3 = 3（无切割）

R4 = 10， 切割方案4 = 2 + 2

R5 = 13， 切割方案5 = 2 + 3

R6 = 17， 切割方案6 = 6（无切割）

R7 = 18， 切割方案7 = 1 + 6或7 = 2 + 2 + 3

R8 = 22， 切割方案8 = 2 + 6

R9 = 25， 切割方案9 = 3 + 6

R10 = 30，切割方案10 = 10（无切割）

更一般地，对于Rn（n >= 1），我们可以用更短的钢条的最优切割收益来描述它：

Rn = max(Pn, R1 + Rn-1, R2 + Rn-2,...,Rn-1 + R1)

首先将钢条切割为长度为i和n - i两段，接着求解这两段的最优切割收益Ri和Rn - i

（每种方案的最优收益为两段的最优收益之和），由于无法预知哪种方案会获得最优收益，

我们必须考察所有可能的i，选取其中收益最大者。如果直接出售原钢条会获得最大收益，

我们当然可以选择不做任何切割。

分析到这里，假设现在出售8英寸的钢条，应该怎么切割呢？

代码如下：

package 动态规划;

/**
 * 钢条不同长度价格不同，求如何切割钢条卖出最划算
 * 用到动态规划
 * @author wangdong20
 *
 */

public class Steel {
	/**
	 * 自底向上非递归方法解决钢条切割问题，
	 * 不仅保存最优收益值，还保存对应的切割方案
	 * @param p 不同长度钢条的价格
	 * @param n 钢条的总长度
	 */
	public static int[][] extendedBottomUpCutRod(int[] p, int n){
		/*if(n == 0){
			return new int[][]{
					{0}, {0}};
		}*/
		int[][] s = new int[2][n + 1];  // s[0][2]保存2米长钢条的最佳收益，s[1][2]保存2米长钢条的切割方案
		s[0][0] = 0;
		
		for(int j = 1; j <= n; j++){
			int q = -99999;
			for(int i = 1; i <= j; i++){
				if(q < p[i] + s[0][j - i]){
					q = p[i] + s[0][j - i];
					s[1][j] = i;
				}
			}
			s[0][j] = q;
		}
		System.out.print("\n最终受益: " + s[0][n]);
		return s;
	}
	
	/**
	 * 根据算法打印出长度为n的钢条完整的最优切割方案
	 * @param p 不同长度钢条的价格
	 * @param n 钢条的总长度
	 */
	public static void printCutRodSolution(int[] p, int n){
		int result[][] = extendedBottomUpCutRod(p, n);
		System.out.print("\n钢板切除方案: ");
		while(n > 0){
			System.out.print(result[1][n] + " ");
			n = n - result[1][n];
		}
	}

	/**
	 * @param args
	 */
	public static void main(String[] args) {
		// TODO 自动生成方法存根
//		 钢条的价格price[0]表示0米长钢条的价格，price[5]代表5米长钢条的价格
		int price[] = {0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30};
		
		System.out.println("The price: ");
		for(Integer i : price){
			System.out.print(i + " ");
		}
		
		printCutRodSolution(price, 8);
	}

}

运行结果如下：

The price: 
0 1 5 8 9 10 17 17 20 24 30 
最终受益: 22
钢板切除方案: 2 6