概率论基础-严士健 第二版 习题与补充5.1答案

概率论基础-严士健 第二版
习题与补充5.1答案
1.不返回抽样时：P(第二次抽的废品|第一次抽的合格品) = $\frac{M}{N-1}$。
返回抽样时：P(第二次抽的废品|第一次抽的合格品) = $\frac{M}{N}$。
2.P(废品率) = $\sum P(废品率|机器i)P(机器i)=\frac{8}{15}\times 0.01+\frac{5}{15}\times 0.02+\frac{2}{15}\times 0.04=\frac{13}{750}$.
3.$P(合格品|获得出厂许可)=\frac{P(合格品\cap 获得出厂许可)}{P(获得出厂许可)}=\frac{P(获得出厂许可|合格品)P(合格品)}{P(获得出厂许可|合格品)P(合格品)+P(获得出厂许可|废品)P(废品)}=\frac{0.98\times 0.96}{0.98\times 0.96+0.05\times 0.04}$.
$P(废品|未获得出厂许可)=\frac{P(废品\cap 未获得出厂许可)}{P(未获得出厂许可)}=\frac{P(未获得出厂许可|废品)P(废品)}{P(未获得出厂许可|合格品)P(合格品)+P(未获得出厂许可|废品)P(废品)}=\frac{0.95\times 0.04}{0.02\times 0.96+0.95\times 0.04}$.
4.$P(\eta =m)={\sum }_{n}P(\eta =m|\xi =n)P(\xi =n)={\sum }_n\left(\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right)p^m(1-p{)}^{(n-m)}\frac{{\lambda }^n}{n!}{e}^{-\lambda }=\frac{(p\lambda {)}^n}{n!}{e}^{-p\lambda }$.
5.$E(\xi |\{\mu =n\})=E({\xi }_1+\cdots +{\xi }_n|\{\mu =n\})=E({\xi }_1+\cdots +{\xi }_n)={\sum }_{k=1}^{n}E{\xi }_k.$
$E\xi =E[E(\xi |\{\mu \})]={\sum }_{k=1}^{\infty }E(\xi |\{\mu =k\})P[\{\mu =k\}]={\sum }_{k=1}^{\infty }{\sum }_{i=1}^{k}E({\xi }_i)P[\{\mu =k\}]={\sum }_{k=1}^{\infty }E({\xi }_k)P[\{\mu \ge k\}]$
若$E{\xi }_k=a$,则$E\xi ={\sum }_{k=1}^{\infty }aP[\{\mu \ge k\}]=a\cdot E\mu$.
6.由第五题立得$E({\xi }_1+\cdots +{\xi }_{\mu })=E\xi \cdot E\mu =\frac{\lambda }{\beta }.$