IEEE 754 float浮点数浅析

IEEE 754标准出现之前，业界对机器浮点数表示各有一套说法，这就造成了浮点代码在机器间的移植性表现极差。IEEE规定了通用机器浮点数标准，今天几乎所有计算机都支持IEEE 754，且默认使用的浮点数标准就是IEEE 754。关于浮点数应具备的基本常识，课本上讲的也稍微枯燥，自己理解起来不容易。希望此篇通俗易懂的简要介绍，能使你对IEEE 754浮点数知识体系有深刻的认识。

一、为什么使用浮点数？

浮点数的概念是相对于定点数而出现的。定点数是指小数点固定的数，包括无符号整数，有符号整数，定点小数。举几个例子：

无符号整数： unsigned int a = 23
有符号整数： long long a = 3294294899455
定点小数： 在数据位宽为5位时，01101表示+0.1101，若符号位为1则为负

浮点数就是小数点是逻辑上浮动的数。既然定点数用起来非常简单，且运算速度极快，那为什么还要使用浮点数呢？考虑以下的情况：

现欲表示5 * 2 ¹⁰⁰，写成二进制计数就是：1.01 * 2 ¹⁰²。
如果是定点表示，那么要表示成：

这105个bits，都要老老实实地在内存中存储，未免太浪费空间，不切实际。因此，借鉴科学计数法的思想，我们不是只要把 X * 2 ^Y 中的X和Y表示一下，就可以了吗？在我们这个例子中，X就是101_(B)，Y就是102_(D)

上述的改进思想其实就是IEEE 754的核心方法。

二、IEEE 754 浮点数的4种表示格式

均以float为例，double自己类推就好。

以下记符号位为 s，指数位为 e，尾数位为 f

规格化

它表示的数是：(-1)^s * 1.f * 2 ^e

注意在IEEE 754浮点标准中，指数位都是移码表示，对float而言，也就是：

实际指数 = 位表示的指数 - 127

也就是说，如果现在指数位为0111 1111，则实际指数应该为0111 1111的十进制表示127减去127，也就是0；反过来，如果现在要表示的是0次幂，则应该表示为0111 1111

以5为例，其表示为：

其中，第1位为0，说明它是一个非负数；[2,9]为1000 0001（129），减去127得到实际指数为2，尾数位为1.01，则表示的就是 5 = 1.01 * 2 ²

• 最小的规格化数为：0 00000001 00000000000000000000000
• 最大的规格化数为：0 11111110 11111111111111111111111

非规格化

非规格化表示中，指数位全为0

它表示的数是：(-1)^s * 0.f * 2 ^-126

• 最小的非规格化数为：0 00000000 00000000000000000000001
• 最大的非规格化数为：0 00000000 11111111111111111111111

无穷大

例如：double(7) / double(0) 的结果为

非数

例如：sqrt(-1)的结果为

三、关于舍入

舍入，实际上就是在原有四舍五入的基础上加以修改。例如，0.49还是舍入到0，0.51还是舍入到1，关键在于0.5的舍入。一般采用向偶数舍入（也叫向最接近的值舍入），这样一来，对于位居中央的数，就向偶数舍入。例如，1.5舍入到2，2.5舍入到2，3.5舍入到4…向偶数舍入可以理解为：最后一位表示为 0

23位实在太长有点难以距离，我们假设现在有一个玩具模型，有1位符号位，4位指数位和4位尾数位。那么：

33 = 1.00001 * 2 ⁵，假设现在尾数位数足够的话，那么33应该被表示成0 1100 00001，但是现在由于尾数只有4位可以存储，所以会发生截断舍入，舍入的结果（要让尾数的第 4 位为偶数）为0 1100 0000

35 = 1.00011 * 2 ⁵，假设现在尾数位数足够的话，那么35应该被表示成0 1100 00011，但是现在由于尾数只有4位可以存储，所以会发生截断舍入，舍入的结果（要让尾数的第 4 位为偶数）为0 1100 0010

四、如何查看浮点数的位表示？

写一段C++代码就可以解决了：

考虑因素：

• Windows是小端法机器

# include 
# include 
# include 
using namespace std;

typedef unsigned char* ptr;

int main() {
    float a;
    cin >> a;
    ptr st = ptr(&a);
    for (int i = 3; i >= 0; --i) {
        bitset<8> bs(st[i]);
        for (int j = 7; j >= 0; --j) {
            cout << bs[j];
        }
        cout << " ";
    }
    cout << endl;
    return 0;
}