匈牙利算法的C++实现

问题简介


　　设G=(V,E)是一个无向图。如顶点集V可分割为两个互不相交的子集V1,V2之并，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个不同的子集。则称图G为二分图。二分图也可记为G=(V1,V2,E)。
　　给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
　　选择这样的子集中边数最大的子集称为图的最大匹配问题(maximal matching problem)
　　如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。
算法描述


　　在介绍匈牙利算法之前还是先提一下几个概念，下面M是G的一个匹配。
　　M-交错路：p是G的一条通路，如果p中的边为属于M中的边与不属于M但属于G中的边交替出现，则称p是一条M-交错路。如：路径(X3,Y2,X1,Y4)，(Y1,X2,Y3)。
　　M-饱和点：对于v∈V(G)，如果v与M中的某条边关联，则称v是M-饱和点，否则称v是非M-饱和点。如X1，X2，Y1，Y2都属于M-饱和点，而其它点都属于非M-饱和点。
　　M-可增广路：p是一条M-交错路，如果p的起点和终点都是非M-饱和点，则称p为M-可增广路。如(X3,Y2,X1,Y4)。（不要和流网络中的增广路径弄混了）
　　求最大匹配的一种显而易见的算法是：先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。因此，需要寻求一种更加高效的算法。下面介绍用增广路求最大匹配的方法(称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出)。
　　增广路的定义(也称增广轨或交错轨)：
　　若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。
　　由增广路的定义可以推出下述三个结论：
　　1－P的路径个数必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。
　　2－将M和P进行取反操作可以得到一个更大的匹配M’。
　　3－M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。
　　算法轮廓：
　　(1)置M为空
　　(2)找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配M’代替M
　　(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止
时间空间复杂度


　　时间复杂度 邻接矩阵：最坏为O(n^3) 邻接表：O(mn)

　　空间复杂度 邻接矩阵：O(n^2) 邻接表：O(m+n)

#include
using namespace std;
ifstream fin("dmnd.in");
ofstream fout("dmnd.out");
const int N=1000;
int n1,n2;
bool state[N+1];
bool find(int x)
{
	for (int i=1;i<=n2;i++)
	{
		if (!state[i]&&map[x][i])
		{
			state[i]=1;
			if (mtch[i]==-1||find(mtch[i]))
			{
				mtch[i]=x;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}
int main()
{
	fin>>n1>>n2>>m;
	int x,y;
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		fin>>x>>y;
		map[x][y]=1;
		map[y][x]=1;
	}
	for (int i=1;i<=n1;i++)
	{
		if (find(i))
		{
			memset(state,0,n2);
			ans++;
		}
	}
	fout<