贝叶斯定理解决三门问题/蒙特霍尔问题

最近接触了一些概率论的知识,讲到了著名的三门问题/蒙特霍尔问题,在网上并没有发现什么较好的回答,在这里浅浅的谈谈一下自己的一些看法.
问题的描述如下:

参赛者面前有三扇关闭的门,其中一扇后面有一辆汽车,选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车,而另外两扇门后面什么都没有.参赛者选定一扇门,开启的时候,节目主持人会开启剩下两扇门中的一扇,这扇门背后一定没有汽车.主持人会问参赛者要不要换另一扇门,问题是:换另外一扇门会不会增加参赛者获奖概率?

另外还有一个类似的问题:

一个监狱看守从三个罪犯中随机挑选一个释放,并处死另外两个人.这个看守知道每个人会被释放还是处死,但是被禁止透露给囚犯其自身的处置信息.称罪犯为X,Y,Z.罪犯X以他知道了Y和Z中至少一个人会死为理由,私下问警卫两个人中哪个会被处死.警卫不能透露给X关于他自身的信息,但是他告诉X:Y将被处死. X很开心,因为他认为他或者Z将被释放,这意味者他被释放的概率现在变成1/2了. 问题:X释放概率是否变成1/2了?

这两个问题其实都涉及到了概率论中的贝叶斯定理, 是求解先验概率的一类问题.
贝叶斯定理的等价形式为:

Pr(A|B)=Pr(A)Pr(B|A)Pr(A)Pr(B|A)+Pr(A⃗ )Pr(B|A⃗ ) P r ( A | B ) = P r ( A ) P r ( B | A ) P r ( A ) P r ( B | A ) + P r ( A → ) P r ( B | A → )

表示的为B条件下A的概率.

上面所描述的两个问题中本质是一样的,鉴于第二个问题已经给出了囚犯的代号,我们拿这个例子来进行说明.
这里最重要的一步是确定下 A事件与 B事件,错误的定义会导致得到错误的答案.
这里根据题意,确定出AB事件的定义:
A事件为: X被释放(的概率).
B事件为:守卫说出Y被处死(的概率).

在X就是要被释放的囚犯的条件下,守卫说出Y被处死的概率为1/2, 因为本身Y和Z都要被处死,守卫随便说出其中一个,每个的概率为1/2.
在X是要被处死的囚犯的条件下,守卫说出Y被处死的概率为1/2,因为本身Y和Z中有一个要被处死,每一个被处死的概率就是1/2,守卫只能说出处死的人,因此说Y或Z的概率都是1/2.
于是我们进行带入计算,得到

Pr(A|B)=1/3∗1/21/3∗1/2+2/3∗1/2=1/3 P r ( A | B ) = 1 / 3 ∗ 1 / 2 1 / 3 ∗ 1 / 2 + 2 / 3 ∗ 1 / 2 = 1 / 3

X被释放的概率仍然为1/3.

那么现在Z被释放的概率呢?能不能用这样的方法求Z被释放的概率呢?
答案是可以的.

同样的分析确定A和B事件:
A: Z被释放(的概率)
B:守卫说出Y被处死(的概率)
在Z就是要被释放的囚犯的条件下,守卫说出Y被处死的概率为1.
在Z是要被处死的囚犯的条件下,守卫说出Y被处死的概率为1/4,原因:如果Z就是要被处死的囚犯,那么释放的人存在两种可能:X或Y,每种1/2概率, 在Y被释放的1/2概率下,守卫说出Y被处死是不可能的.而在X被释放的情况下,守卫可以选择说Y或者Z被处死,即概率再分为2份,因此这种情况下守卫说出Y被处死的概率为1/4.
下面我们带入贝叶斯公式计算:

Pr(A|B)=1/3∗11/3∗1+2/3∗1/4=2/3 P r ( A | B ) = 1 / 3 ∗ 1 1 / 3 ∗ 1 + 2 / 3 ∗ 1 / 4 = 2 / 3

结果是Z被释放的概率变成了2/3.

这个分析过程同样适用于上面的第一个三门问题.
因此三门问题中参赛者应该选择换门,换后的概率将变成2/3.
以上,希望对阅读者有所帮助~