算法笔试题最长上升子序列长度问题

动态规划值最长上升子序列

找到其中最长上升子序列的长度

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。

说明:
可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
DP算法的时间复杂度为 O(n2) 。

思路：想要求得最长上升子序列的长度，来源只有一种—前一个最长上升子序列的长度+1 ，据此就得到了状态转移方程 。
如何实现：将整个序列看作是一个一维的数组a[i],用F[i] 来表示该位置最长上升子序列的长度，即从左向右扫描过来直到一a[i]元素结尾的序列，获得的最长上升子序列的长度，且子序列包含a[i]元素（1<=i<=n);那么我们就扫描i之前的元素，如果前面的元素比a[i]小，我们就让该位置的长度=前面最大的最长上升子序列的长度加1，即“F[i]=max{F[j]+1}( 0< j < i, A[j] < A[i] )” 。需要注意的是必须是前面的最大的最长上升子序列的长度加1 ！不是前面相邻元素的最大长度+1！！！

抽象的函数方程如下：

总的来讲：
比如：
序列

8，8，8，8

对应的F[i]是1;

序列

9，6，4，2，1

对应的F[i]也是1;

序列

1, 3, 6, 7, 9, 4, 10, 5, 6

对应的 F[ i ] 是：

1，2，3，4，5，3，  x

当算到 x 的时候，如果不是前面的最大的最长上升子序列的长度加1的话x的位置就会变成4，这是我们所不希望的 。这也就是不连续的最长递增子序列的特点，也就是需要两个for循环！！

class Solution
{
  public:
    int lengthOfLIS(vector &nums)
    {
        if (nums.size() == 0)
            return 0;
        /**
         定义记录最长子序列长度的数组 array
         array[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长子序列的长度值，对于每个元素，初始化都为 1
         */
        vector array = vector(nums.size(), 1);
        int res = array[0];
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++)
        {
            for (int j = 0; j < i; j++)
            {
                //后面的元素比前面的元素值大，那么后面的元素可以放在前面的元素后面形成一个新的子序列
                if (nums[i] > nums[j])
                {
                    //更新记录的长度值
                    array[i] = max(array[i], 1 + array[j]);
                }
            }
           res = max(res,array[i]);
        }
        return res;
    }
};