最长递增子序列

问题描述：
给定一串数字，输出这串数字中最长递增子序列的长度。
例如：
输入：
4 2 3 1 5
输出：
3（因为2 3 5组成了最长子序列）

解法一：
  暴力法，两层循环，依次遍历。

代码如下：

import java.util.*;

public class 最长递增子序列 {
	public static void main(String[] args){
		int[] arr = {4, 2, 3, 1, 5};
		System.out.println(violent(arr));
	}

	/*
	 * 暴力法
	 */
	private static int violent(int[] arr) {
		int max = 0;
		for(int i=0; i<arr.length; i++){
			int count = 1; 
			int p = i;//记录当前子序列的最后一个的位置
			for(int j=i+1; j<arr.length; j++){
				if(arr[j]>arr[p]){
					count++;
					p = j;
				}
			}
			max = Math.max(max, count);
		}
		return max;
	}
}

---

解法二：
  使用动态规划的方法，由于只有数字串这一个变量，所以dp表使用一维数组即可。这题的dp表有点不一样，一般动态规划求什么值，dp表的单元格就是什么值；但是如果这题也这样建立dp表，是找不到递推公式的。我们可以将单元格的值设置为以当前数字结尾的最长子序列的长度。建好dp表以后可以遍历整个dp表找出最大值。就可以得出最长子序列的长度。
  递推公式为：求dp[i]时，向前遍历dp表（n从i-1到0），当第i个数字大于第n个数字时，将dp[n]纳入候选值，遍历完后从候选值中选出最大值作为dp[i]的值。
  这个方法的时间复杂度和暴力法是一样的。

代码如下：

import java.util.*;

public class 最长递增子序列 {
	public static void main(String[] args){
		int[] arr = {4, 2, 3, 1, 5};
		System.out.println(violent(arr));
		System.out.println(dp(arr));
	}
	/*
	 * 动态规划法
	 */
	private static int dp(int[] arr) {
		int[] dp = new int[arr.length];
		dp[0] = 1;//初始化第一个值
		for(int i=1; i<arr.length; i++){
			int cnt = 1;//因为最小的递增子序列的长度为1，所以必须初始化为1
			for(int j=i-1; j>=0; j--){
				if(arr[i]>arr[j]){
					cnt = Math.max(cnt, dp[j]+1);
				}
			}
			dp[i] = cnt;
		}
		int maxlen = 0;
		for(int i=0; i<dp.length; i++){//在dp表中选出最大长度
			maxlen = Math.max(maxlen, dp[i]);
		}
		return maxlen;
	}
}