【leetcode】使数组严格递增 (dp+二分)

给你两个整数数组 arr1 和 arr2，返回使 arr1 严格递增所需要的最小「操作」数（可能为 0）。

每一步「操作」中，你可以分别从 arr1 和 arr2 中各选出一个索引，分别为 i 和 j，0 <= i < arr1.length 和 0 <= j < arr2.length，然后进行赋值运算 arr1[i] = arr2[j]。

如果无法让 arr1 严格递增，请返回 -1。

示例 1：

输入：arr1 = [1,5,3,6,7], arr2 = [1,3,2,4]
输出：1
解释：用 2 来替换 5，之后 arr1 = [1, 2, 3, 6, 7]。
示例 2：

输入：arr1 = [1,5,3,6,7], arr2 = [4,3,1]
输出：2
解释：用 3 来替换 5，然后用 4 来替换 3，得到 arr1 = [1, 3, 4, 6, 7]。
示例 3：

输入：arr1 = [1,5,3,6,7], arr2 = [1,6,3,3]
输出：-1
解释：无法使 arr1 严格递增。

提示：

1 <= arr1.length, arr2.length <= 2000
0 <= arr1[i], arr2[i] <= 10^9

链接：https://leetcode-cn.com/problems/make-array-strictly-increasing

思路分析：

对于这道题来说，需要从 i 推到 i+1.
状态很明显了：
dp[i][j] 表示在第 i 个位置以 arr2[j] 或 arr1[i] 结尾的最小操作数。
这里当 j == m 时表示以 arr1[i] 结尾，也就是不换。
我们可以用tmp表示当前状态结尾的数。
如果arr1[i+1] > tmp，i+1位置可以选择不换。对于 dp[i][j] 可以推出 dp[i+1][m]. 即dp[i+1][m] = dp[i][j].
选择i+1位置选择换，那么现在已知当前结尾的值为tmp，必须得从arr2找比tmp大的元素换。当然这个替换的元素越小越好。因此可以想到用二分。
令 idx 为 upper_bound (arr2, tmp) 的索引。
对于当前位置的每个tmp，如果idx存在，就可以更新 i+1 位置。
dp[i+1][idx] = dp[i][j].
上面两种状态转移方程都是取最小。

接下来考虑初始条件：
我们可以初始化dp为-1，表示该状态不存在严格递增。
很容易可以分析出 dp[0][m] = 0, dp[0][j] = 1.

这一道题就写完了。
需要注意的是，我们必须写成 i -> i+1 而不是 i-1 -> i.
如果按照后者的写法，我们需要获取 i-1 状态的结尾值才能更新当前状态。这样很不方便。
而如果按照前者的写法，我们可以获取当前状态的结尾值更新下一个状态。这也是这道题的难点之一。
另外，可以对arr2做一个排序+去重的优化。

class Solution {
public:
    int makeArrayIncreasing(vector<int>& arr1, vector<int>& arr2) {
        sort(arr2.begin(), arr2.end());
        int n = arr1.size();
        int m = unique(arr2.begin(), arr2.end())-arr2.begin();
        int dp[n+2][m+2];   //dp[i][m]表示不换
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        dp[0][m] = 0;
        for(int i = 0;i < m;i++) dp[0][i] = 1;
        for(int i = 0;i < n-1;i++)
        {
            for(int j = 0;j <= m;j++)
            {
                if(dp[i][j] == -1) continue;
                int tmp = (j==m?arr1[i]:arr2[j]);   //当前i位置的值
                //no 不换i+1的值
                if(arr1[i+1] > tmp && (dp[i+1][m] == -1 || dp[i+1][m] > dp[i][j]))  
                {
                    dp[i+1][m] = dp[i][j];
                }
                //do 换i+1的值
                int idx = upper_bound(arr2.begin(), arr2.begin()+m, tmp)-arr2.begin();
                if(idx < m && (dp[i+1][idx] == -1 || dp[i+1][idx] > dp[i][j]+1))
                dp[i+1][idx] = dp[i][j]+1;
            }
        }
        int ans = -1;
        for(int i = 0;i <= m;i++)
        {
            if(dp[n-1][i] == -1) continue;
            if(ans == -1 || ans > dp[n-1][i])
            ans = dp[n-1][i];
        }
        return ans;
    }
};