动态规划之0/1背包问题——教你如何填表格

题目：

在填表之前，你要知道0/1背包问题的递推式，才能完成下面的任务。在动态规划求解问题中，都有一个递推式，这个递推式面对不同的问题是不同的。

wi代表第i个物品的重量（weight），vi代表第i个物品的价值（value），绘制表格时，横轴为背包容量 j ，纵轴为“前 i 个物品”放入背包，中间这些矩阵就填背包中物品的价值的和。

下面开始正式填表格啦！
首先，面对只有0个物品，或者背包容量为0的时候，是不可能放入任何东西的，所以这里（0，j）和（i，0）均填0。

			0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
		0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
w1=2	v1=6	1	0
w2=2	v2=3	2	0
w3=6	v3=5	3	0
w4=5	v4=4	4	0
w5=4	v5=6	5	0

接着，从这里开始，我们要从上到下，再从左到右的填表了。
面对（1，1）,物品1重量为2，放不下，填0，纵观一整列，没有重量为1的物品，所以面对背包为1的这一列，都填0.

			0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
		0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
w1=2	v1=6	1	0	0
w2=2	v2=3	2	0	0
w3=6	v3=5	3	0	0
w4=5	v4=4	4	0	0
w5=4	v5=6	5	0	0

面对（1,2）,套用递推式，2 >= w1, 使用第2个式子，
V ( 1 - 1 , 2 ) = 0
V（1-1,2-2）+ v1 = 6
选这两个更大的一个，故此处填6。翻译过来就是：物品1重量为2，可以放进背包容量为2的背包，其价值为6。以下我们省略翻译部分，直接套公式。

			0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
		0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
w1=2	v1=6	1	0	0	6
w2=2	v2=3	2	0	0
w3=6	v3=5	3	0	0
w4=5	v4=4	4	0	0
w5=4	v5=6	5	0	0

接着是（2，2），套用递推式，2 > = w2, 使用第2个式子，
V ( 2 - 1 , 2 ) = 6
V（1 - 1 , 2 - 2 ）+ v2 = 3
选这两个更大的一个，故此处填6。

对于（3 ，2），因为 2 < w3 , 所以使用第1个式子
V（3-1,2）= 6
故此处填6。

剩下的物品4和物品5重量都大于背包容量，同（3,2）。

			0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
		0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
w1=2	v1=6	1	0	0	6
w2=2	v2=3	2	0	0	6
w3=6	v3=5	3	0	0	6
w4=5	v4=4	4	0	0	6
w5=4	v5=6	5	0	0	6

不知道通过上面的示例你发现没有，使用第一个式子，就是直接复制正上方的数字，使用第二个式子则需要根据具体情况计算，把正上方的数字和具体物品计算的结果进行比较，由此一来，就方便多了。

下面我先填了简单的数据，再举1个例子就结束填表教程。

			0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
		0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
w1=2	v1=6	1	0	0	6	6	6	6	6
w2=2	v2=3	2	0	0	6	6	9	9	9
w3=6	v3=5	3	0	0	6	6	9	9	9
w4=5	v4=4	4	0	0	6	6	9	9	9
w5=4	v5=6	5	0	0	6	6	9	9

面对（5,6），由于 6 > = w4 ，故使用第2个式子，把正上方的数字 9 和 【正上方减去wi个单位的数字，再加上当前要放入的物品重量比较】，即：
V（i-1 , j-4）+ 6 = 12

故此处填12.

			0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
		0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
w1=2	v1=6	1	0	0	6	6	6	6	6
w2=2	v2=3	2	0	0	6	6	9	9	9
w3=6	v3=5	3	0	0	6	6	9	9	9
w4=5	v4=4	4	0	0	6	6	9	9	9
w5=4	v5=6	5	0	0	6	6	9	9	12

如法炮制，同学们自己动手填一填吧，然后再对照答案。

接下来我们就要通过回溯来判断出我们都把什么物品放进了背包，请听下回分解！