树和二叉树(1)——概念

树的定义与基本操作

树描述的是一种层次结构，如下图所示，下图中节点 A 为树的根节点，一颗树有且仅有一个根节点。树的定义是递归的，当树节点数量大于 1 时，除根结点外的其他节点构成根节点的子树。

树中的一些概念

1. 节点：表示树中的元素项。
2. 节点的度数：节点拥有的子树个数。
3. 树的度数：树中最大的节点度数。
4. 叶子节点：度数为 0 的节点。
5. 树的层次：根节点为第一层，根节点的子节点为第二层，以此类推。
6. 树的深度：数中节点最大层次数。
7. 子节点、父节点、兄弟节点、堂兄弟节点（父节点在同一层）。
8. 森林：$n$ 棵树的集合称为森林（$n>1$) 。

二叉树

定义：任意节点的子数个数都不超过两个的树称为二叉树。二叉树区分左右，二叉树有五种基本形态，如下图所示。

1. 满二叉树

• 定义：深度为 $k$ 且节点数为 $2^{k-1}$ 的二叉树称为满二叉树。

• 满二叉树特点
  a. 只有度为 0 和 2 的节点
  b. 二叉树中每一层节点数都达到最大
  c. 叶节点只出现在最底层（第 $k$ 层）

2. 完全二叉树

• 定义: 从满二叉树最底层最右叶子节点开始从右向左，自下而上删除 $n$ 个节点（$n<2^{k-1}$) 之后的树称为完全二叉树，一个完全二叉树的例子如下图所示。
  

• 二叉树的存储结构，多采取链式存储，也可采用顺序存储。链式存储有两种实现方式，一种是二叉链表，每个节点有两个指针，分别指向左右孩子；另一种为三叉链表，在二叉链表基础上增加一个指针域指向父节点。

• 二叉树的遍历
  a. 前序遍历：先根节点然后左子树，最后右子树。
  b. 后序遍历：先左子树然后右子树，最后根节点。
  c. 中序遍历：先左子树然后根节点，最后右子树。
  d. 层次遍历：从左往右，从上向下，一层一层遍历。

  以上面示例中的三层满二叉树为例，这四种遍历方式的顺序分别为：
  a. 前序遍历：A→B→D→E→C→F→G
  b. 后序遍历：D→E→B→F→G→C→A
  c. 中序遍历：D→B→E→A→F→C→G
  d. 层次遍历：A→B→C→D→E→F→G

树与二叉树

1. 树的孩子兄弟存储结构，每个节点存在两个指针域，一个指向第一个孩子节点，一个指向第一个兄弟节点，如下图所示。
   

2. 树和二叉树的互相转化
   由于孩子兄弟存储结构是二叉链表形式，与二叉树的二叉链表存储结构类似，只是指针域代表的含义不同，所以二叉树和树之间可以进行相互转换。

   以 1 中的孩子兄弟链表为例，改变其指针域的含义，用左孩子指针代替长子节点指针，右孩子指针代替兄弟指针，就可以将孩子兄弟链表存储的树转换为一棵二叉树，如下图所示，由于根节点没有兄弟节点，所以由孩子兄弟链表存储的树转换得来的二叉树没有右子树。
   

3. 由于二叉树和树可以互相转换，所以树的遍历可借助于二叉树的遍历，分为前序（也叫先根）遍历、中序遍历、后序（也叫后根）遍历、层次遍历。

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