《挑战程序设计竞赛（七）》动态规划：最长上升子序列问题

LIS（Longest Increasing Subsequence）最长上升子序列 
一个数的序列bi，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个序列是上升的。
比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8). 
对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入样例
5
4 2 3 1 5

输出样例：
3

用数组dp求出通项：
dp[i]=max(1,dp[j]+1)
即以第i+1个数为尾数的最长上升子序列长度=取最大（只含i ，包括j）

再找出约束条件i=0：n
j=0：i
当且仅当a[i]>a[j]时进行判断

那么代码如下

#include
#include
using namespace std;
#define MAX_N 1000
#define MAX_I 1000000
int dp[MAX_N];
int a[MAX_I];
int n;

int main()
{
	//初始化n
	cin >> n;
	//初始化a[i]
	for (int i = 0;i < n;i++)
	{
		cin >> a[i];
	}
	int res = 0;
	for (int i = 0;i < n;i++)
	{
		dp[i] = 1;
		for (int j = 0;j < i;j++)
		{
			if (a[j] < a[i])
			{
				dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
			}
		}
		res = max(res, dp[i]);
	}
	printf("%d", res);
	getchar();getchar();
}

这样的时间复杂度为O(n^2)

还有一种递推表达式法，令
dp[i]:=i+1个数中尾数最小的数
把dp初始化为INF(极大的一个值）
dp[i]=min(dp[i],a[i])

#include
#include
using namespace std;
#define MAX_N 1000
#define INF 999999
int a[MAX_N];
int dp[MAX_N];

int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	for (int i=0;i < n;i++)
	{
		cin >> a[i];
	}
	for (int i = 0;i < n;i++)
	{
		dp[i] = INF;
	}
	for (int i = 0;i < n;i++)
	{
		*lower_bound(dp, dp + n, a[i]) = a[i];
	}
	printf("%d\n", lower_bound(dp, dp + n, INF) - dp);
	getchar();
}

这样，时间复杂度就变为了O（nlogn）