CFhM xjb training 题解
第二期第四次每周训练题解
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- 第二期第四次每周训练题解
- A-Moon Safari medium-数论
- B-Number Busters-推公式
- C-ZYB loves Xor I-分治
- D-Wavy numbers-Q神代码
- E-Bear and Floodlight-计算几何
- F-Subway Innovation-前缀和优化数学推导
- G-Dexterinas Lab-矩阵优化概率dp
- H-Count Good Substrings-机智
- I-Divisors-模拟
- J-Painting Fence-分治
- 头文件
A-Moon Safari (medium)-数论
- dp[n][r]=∑i=1naiir=∑i=0n−1ai+1(i+1)r=a∑i=0n−1ai∑k=0rCkrik=a∑i=1n−1ai∑k=0rCkrik=a∑k=0rCkr∑i=1n−1aiik=a∑k=0rCkrdp[n−1][k]
#include B-Number Busters-推公式
- 当 b<x 时， a 和 c 都会减小， c−a 不会改变，所以只有在 b≥x 的时候，才会使 a 和 c 之间的距离缩短，所以我们知道 b≥x 这个状态共出现 c−a 秒。
- 再来看 b<x 的时间，假设有 k 秒，且易知使 c=a 这个临界点出现的状态必然是 b≥x ，此时（更新之后） b 的值为 b−x∗(c−a)+k∗(w−x) ，那么这个值还原回去（加上 x ）必须大于等于 x 。
- 由此得出方程 b−x∗(c−a)+k∗(w−x)+x≥x
- 解出 k ，再加上 b≥x 的时间 c−a ，就是最终的答案
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);
long _begin_time = clock();
#endif
ll a, b, w, x, c;
scan(a, b, w); scan(x, c);
ll ans = 0LL;
if(c > a) ans = ceil(1.0 * ((c - a) * x - b) / (w - x)) + c - a;
dbg(ans);
#ifndef ONLINE_JUDGE
long _end_time = clock();
printf("time = %ld ms\n", _end_time - _begin_time);
#endif
return 0;
}C-ZYB loves Xor I-分治
- 这里的 lowbit(x) 的定义和我们以前知道的那个一样
- 网上的题解都是字典树，然而学艺不精
- 刘庆晖老师教导的分治的思维，让我看到了希望
- 对于一个数组 a ，我们考虑它的最低位是否为1，可以分为两个集合，这两个集合中任意两个数做异或的结果的 lowbit ，都是1。
- 对于第一个集合，由于最低位相同（都是1），那么考虑第二位（次低位），按照上面的描述再次分为两个集合，那么这两个集合中任意两个数的异或的 lowbit 都是2。
- 对于第二个集合同理。
- 之后对于再次划分的集合我们发现依然可以这样分治下去。
- wow~
- 最后我们构造的就是一棵 2n−1 个节点的解答树
- 复杂度是 O(nlogn∗T)
void gao(vi &vec, int pos, ll &ans) {
vi vec1, vec2;
for(auto v : vec) {
if(v & (1 << pos)) vec1.pb(v);
else vec2.pb(v);
}
ans += (ll)(1LL << pos) * vec1.size() * vec2.size() % MOD;
if(pos >= 28) return;
if(vec1.size() > 0) gao(vec1, pos + 1, ans); //剪枝很重要
if(vec2.size() > 0) gao(vec2, pos + 1, ans);
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);
long _begin_time = clock();
#endif
int T; scan(T);
rep(i, 0, T)
{
vi vec;
int n, x; scan(n);
while(n--) {
scan(x);
vec.pb(x);
}
ll ans = 0LL;
gao(vec, 0, ans);
ans = ans * 2LL % MOD;
printf("Case #%d: %lld\n", i + 1, ans);
}
#ifndef ONLINE_JUDGE
long _end_time = clock();
printf("time = %ld ms\n", _end_time - _begin_time);
#endif
return 0;
}D-Wavy numbers-Q神代码
#includeint >mp[2][10];
void solve_right(ll n,ll &k)
{
for(int i=1;iint t=change(i),ok=1;
if(t==2)ok&=(num[0]!=num[1]);
for(int j=1;j1;j++)
ok&=((num[j]>num[j-1] && num[j]>num[j+1])
||(num[j]1] && num[j]1]));
if(!ok)continue;
vis[i]=1;
k-=(i%n==0);
if(k==0)
{
printf("%d",i);
exit(0);
}
if(t==6 && num[t-1]>num[t-2])mp[0][0][i%n]++;
else if(t==7)mp[num[t-1]>num[t-2]][num[t-1]][i%n]++;
}
}
void get_res(ll n,ll &k,ll Mod,int lef)
{
int len=7;
while(lef)
{
num[len++]=lef%10;
lef/=10;
}
for(int i=1;iif(!vis[i])continue;
int t=change(i),ok=1;
while(t<7)num[t++]=0;
t=len;
for(int j=1;j1;j++)
ok&=((num[j]>num[j-1] && num[j]>num[j+1])
||(num[j]1] && num[j]1]));
if(!ok)continue;
k-=(i%n==Mod);
if(k==0)
{
printf("%07d",i);
exit(0);
}
}
}
void solve_left(ll n,ll &k)
{
for(int i=1;iif(!vis[i])continue;
int t=change(i),ok=1;
if(t==2)ok&=(num[0]!=num[1]);
for(int j=1;j1;j++)
ok&=((num[j]>num[j-1] && num[j]>num[j+1])
||(num[j]1] && num[j]1]));
if(!ok)continue;
ll m=(n-1LL*i*MAXQ%n)%n,cnt=0;
if(t==1)
{
for(int j=0;j0];j++)
if(mp[0][j].find(m)!=mp[0][j].end())
cnt+=mp[0][j][m];
for(int j=num[0]+1;j<10;j++)
if(mp[1][j].find(m)!=mp[1][j].end())
cnt+=mp[1][j][m];
}
else
{
int go=(num[1]>num[0]);
if(go==0)for(int j=0;j0];j++)
if(mp[0][j].find(m)!=mp[0][j].end())
cnt+=mp[0][j][m];
if(go==1)for(int j=num[0]+1;j<10;j++)
if(mp[1][j].find(m)!=mp[1][j].end())
cnt+=mp[1][j][m];
}
if(k<=cnt)
{
printf("%d",i);
get_res(n,k,m,i);
}
else k-=cnt;
}
}
int main()
{
ll n,k;
scanf("%lld%lld",&n,&k);
solve_right(n,k);
solve_left(n,k);
return 0*printf("-1");
} E-Bear and Floodlight-计算几何
- 只有20盏灯，所以可以考虑用状压dp， dp[i] 表示 i 代表的状态（1表示亮）能走的最远距离
- 转移就是枚举剩下的未亮的灯，点亮后能走的距离。
- 对于状态 dp[i] 点亮灯 j 之后的状态分两种情况：
- 由 dp[i] 的终点开始向 r 照亮 θj 的范围，那么有 dp[i|(1<<j)]=(arctan((dp[i]−xj)/yj)+θj)∗yj+xj−l
- 若该角度超过r，则取 r−l
double l, r;
struct point {
double x, y, ang;
point() {}
point(double _x, double _y, double _ang) {
x = _x - l;
y = fabs(_y);
ang = _ang * pi / 180.0;
}
}p[maxn];
double dp[maxn];
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);
long _begin_time = clock();
#endif
int n; scan(n); scan(l, r);
r -= l;
rep(i, 0, n) {
double x, y, ang;
scan(x, y, ang);
p[i] = point(x, y, ang);
}
rep(i, 0, (1 << n)) {
rep(j, 0, n) {
if((i & (1 << j)) == 0) {
double tmp = atan((r - p[j].x) / p[j].y);
tmp = min(tmp, atan((dp[i] - p[j].x) / p[j].y) + p[j].ang);
dp[i | (1 << j)] = max(dp[i | (1 << j)], p[j].x + p[j].y * tan(tmp));
}
}
}
printf("%.9f\n", dp[(1 << n) - 1]);
#ifndef ONLINE_JUDGE
long _end_time = clock();
printf("time = %ld ms\n", _end_time - _begin_time);
#endif
return 0;
}F-Subway Innovation-前缀和优化+数学推导
- 如果这 n 个点是按照 x 坐标排好序的，那么我们很容易知道，两两距离之和最短的 k 个点一定是连续的（反证一下即可）
- 首先用前缀和处理一下 x 坐标的和，即 sum[i] 表示前 i 个点的 x 坐标之和
- 令 f(i) 表示从 i 开始的 k 个点两两之间的距离之和，我们先求出 f(0)
- 添加辅助函数 h(i) 表示前 i 个点两两间的距离之和，有 h(i)=h(i−1)+xi∗i−sum[i−1] ( i 从 0 开始)
- 我们令 f(0)=h(k−1)
- 接下来推导 f 的转移关系，可以看出 f(i) 到 f(i−1) ，多出了 xi+k−1 到 xi...xi+k−2 的距离，减少了 xi−1 到 xi...xi+k−2 的距离
- f(i)=f(i−1)−(sum[i+k−2]−sum[i−1]−xi−1∗(k−1))+xi+k−2∗k−sum[i+k−1]+sum[i−1]
struct point {
int id;
ll x;
bool operator<(const point &b) const {
return x < b.x;
}
}p[maxn];
ll sum[maxn], dp[maxn];
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);
long _begin_time = clock();
#endif
int n, k; scan(n);
rep(i, 0, n) {
scan(p[i].x);
p[i].id = i;
}
sort(p, p + n);
sum[0] = p[0].x;
rep(i, 1, n) sum[i] = sum[i - 1] + p[i].x;
scan(k);
rep(i, 1, k) dp[i] = dp[i - 1] + p[i].x * i - sum[i - 1];
dp[0] = dp[k - 1];
ll ans = dp[0], l = 0;
rep(i, 1, n - k + 1) {
dp[i] = dp[i - 1] - (sum[i + k - 2] - sum[i - 1] - p[i - 1].x * (k - 1)) + (p[i + k - 1].x * (k - 1) - (sum[i + k - 2] - sum[i - 1]));
if(ans > dp[i]) {
ans = dp[i];
l = i;
}
}
rep(i, l, l + k) printf("%d%c", p[i].id + 1, i == l + k - 1 ? '\n' : ' ');
#ifndef ONLINE_JUDGE
long _end_time = clock();
printf("time = %ld ms\n", _end_time - _begin_time);
#endif
return 0;
}G-Dexterina’s Lab-矩阵优化+概率dp
- dp[i][j]=∑k=0127dp[i−1][k]∗p[j∧k]
- ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜dp[i][0]dp[i][1]...dp[i][127]⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜p[0][0]p[1][0]...p[127][0]p[0][1]p[1][1]...p[127][1]..................p[0][127]p[1][127]...p[127][127]⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜dp[i−1][0]dp[i−1][1]...dp[i−1][127]⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
int n, K;
struct Matrix{
double x[128][128];
}A,B,ans;
Matrix operator * (const Matrix &k1, const Matrix &k2) {
mem(B.x, 0);
rep(i, 0, n + 1)
rep(j, 0, n + 1)
rep(k, 0, n + 1)
B.x[i][j] += k1.x[i][k] * k2.x[k][j];
return B;
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);
long _begin_time = clock();
#endif
scan(K, n);
rep(i, 0, n + 1) {
double k1; scan(k1);
rep(j, 0, 128) A.x[j][i^j]=k1;
}
n = 127;
ans=A; K--;
while (K) {
if (K & 1) ans = ans * A; A = A * A; K >>= 1;
}
printf("%.11lf\n",1 - ans.x[0][0]);
#ifndef ONLINE_JUDGE
long _end_time = clock();
printf("time = %ld ms\n", _end_time - _begin_time);
#endif
return 0;
}H-Count Good Substrings-机智
- 根据描述最后的串一定是abababa这个样子
- 若是回文串那么首尾字母一定相同
- 偶数长度的回文串的来源
- 一个奇数位置的a和一个偶数位置的a之间
- 一个奇数位置的b和一个偶数位置的b之间
- 奇数长度的回文串来源
- 任意位置的奇偶性相同的两个a或两个b之间的串
- 单一字符
ll gao(ll n) { return n * (n - 1) / 2LL; }
char s[maxn];
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);
long _begin_time = clock();
#endif
scan(s);
int n = strlen(s);
ll oa = 0LL, ea = 0LL, ob = 0LL, eb = 0LL;
rep(i, 0, n) {
if(i & 1) {
if(s[i] == 'a') oa++;
else ob++;
} else {
if(s[i] == 'a') ea++;
else eb++;
}
}
dbg(oa * ea + ob * eb);
dbg(gao(oa) + gao(ob) + gao(ea) + gao(eb) + n);
#ifndef ONLINE_JUDGE
long _end_time = clock();
printf("time = %ld ms\n", _end_time - _begin_time);
#endif
return 0;
}I-Divisors-模拟
- 先 O(x√) 预处理出 x 的所有因子并且排序，再根据题目描述dfs模拟一下就行
- 注意对因子去重什么的，免得平方根因子不好搞
int cnt = 0, mnt = 0;
ll fac[maxn];
void gao(ll x, ll k) {
if(cnt > 99999) return;
if(x == 1LL || k == 0LL) { dbg(x); cnt++; return; }
rep(i, 0, mnt) {
if(x < fac[i]) break;
if(x % fac[i] == 0) gao(fac[i], k - 1);
}
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);
long _begin_time = clock();
#endif
ll x, k; scan(x, k);
for(ll i = 1LL; i * i <= x; i++) {
if(x % i == 0) {
fac[mnt++] = i;
fac[mnt++] = x / i;
}
}
mnt = unique(fac, fac + mnt) - fac;
sort(fac, fac + mnt);
gao(x, k);
#ifndef ONLINE_JUDGE
long _end_time = clock();
printf("time = %ld ms\n", _end_time - _begin_time);
#endif
return 0;
}J-Painting Fence-分治
- 一个问题的定义，就是找到这个区间中的最短板，把这个长度以下部分横着刷，剩下的以他为中心分为两个区间，每个区间又是相同的子问题
int a[maxn];
int gao(int l, int r, int minn) {
if(l > r) return 0;
if(l == r) return a[l] > minn;
int m = min_element(a + l, a + r + 1) - a;
return min(r - l + 1, gao(l, m - 1, a[m]) + gao(m + 1, r, a[m]) + a[m] - minn);
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);
long _begin_time = clock();
#endif
int n; scan(n);
rep(i, 1, n + 1) scan(a[i]);
dbg(gao(1, n, 0));
#ifndef ONLINE_JUDGE
long _end_time = clock();
printf("time = %ld ms\n", _end_time - _begin_time);
#endif
return 0;
}头文件
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include int > mpi;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll LINF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
const ll MOD = 998244353;
const double pi = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int maxn = 1e6 + 5;
const int maxm = 1e6 + 5;
const int dx[] = {-1, 0, 1, 0, -1, -1, 1, 1};
const int dy[] = {0, 1, 0, -1, 1, -1, 1, -1};
inline int scan(int &a) { return scanf("%d", &a); }
inline int scan(int &a, int &b) { return scanf("%d%d", &a, &b); }
inline int scan(int &a, int &b, int &c) { return scanf("%d%d%d", &a, &b, &c); }
inline int scan(ll &a) { return scanf("%I64d", &a); }
inline int scan(ll &a, ll &b) { return scanf("%I64d%I64d", &a, &b); }
inline int scan(ll &a, ll &b, ll &c) { return scanf("%I64d%I64d%I64d", &a, &b, &c); }
inline int scan(double &a) { return scanf("%lf", &a); }
inline int scan(double &a, double &b) { return scanf("%lf%lf", &a, &b); }
inline int scan(double &a, double &b, double &c) { return scanf("%lf%lf%lf", &a, &b, &c); }
inline int scan(char &a) { return scanf("%c", &a); }
inline int scan(char *a) { return scanf("%s", a); }
template<class T> inline void mem(T &A, int x) { memset(A, x, sizeof(A)); }
template<class T0, class T1> inline void mem(T0 &A0, T1 &A1, int x) { mem(A0, x), mem(A1, x); }
template<class T0, class T1, class T2> inline void mem(T0 &A0, T1 &A1, T2 &A2, int x) { mem(A0, x), mem(A1, x), mem(A2, x); }
template<class T0, class T1, class T2, class T3> inline void mem(T0 &A0, T1 &A1, T2 &A2, T3 &A3, int x) { mem(A0, x), mem(A1, x), mem(A2, x), mem(A3, x); }
template<class T0, class T1, class T2, class T3, class T4> inline void mem(T0 &A0, T1 &A1, T2 &A2, T3 &A3, T4 &A4, int x) { mem(A0, x), mem(A1, x), mem(A2, x), mem(A3, x), mem(A4, x); }
template<class T0, class T1, class T2, class T3, class T4, class T5> inline void mem(T0 &A0, T1 &A1, T2 &A2, T3 &A3, T4 &A4, T5 &A5, int x) { mem(A0, x), mem(A1, x), mem(A2, x), mem(A3, x), mem(A4, x), mem(A5, x); }
template<class T0, class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6> inline void mem(T0 &A0, T1 &A1, T2 &A2, T3 &A3, T4 &A4, T5 &A5, T6 &A6, int x) { mem(A0, x), mem(A1, x), mem(A2, x), mem(A3, x), mem(A4, x), mem(A5, x), mem(A6, x); }
template<class T> inline T min(T a, T b, T c) { return min(min(a, b), c); }
template<class T> inline T max(T a, T b, T c) { return max(max(a, b), c); }
template<class T> inline T min(T a, T b, T c, T d) { return min(min(a, b), min(c, d)); }
template<class T> inline T max(T a, T b, T c, T d) { return max(max(a, b), max(c, d)); }
template<class T> inline T min(T a, T b, T c, T d, T e) { return min(min(min(a,b),min(c,d)),e); }
template<class T> inline T max(T a, T b, T c, T d, T e) { return max(max(max(a,b),max(c,d)),e); }
template<class T> inline void dbg(T a[], int n) { rep(i, 0, n) cout << a[i] << (i == n - 1 ? "\n" : " ");}
template<class T> inline void dbg(T a) { cout << a << " "; }
template<class T> inline void dbg(T a[][maxn], int n, int m) { rep(i, 0, n) rep(j, 0, m) cout << a[i][j] << (j == m - 1 ? "\n" : " "); }